עזרה עם חידה

[ipv6]

עזרה עם חידה

מכונית נוסעת במסלול מעגלי.
לאורך המסלול מפוזרים N מיכלי דלק שאמורים להספיק למכונית לבצע הקפה.
(הסכום של הדלק בכל המיכלים מספיק בשביל להקיף את המסלול)
האם ניתן למצוא נקודת התחלה שאם מתחילים ממנה, המכונית תצליח להשלים סיבוב

 

[עריסטו]

נראה לי שאפשר ככה

נניח באופן זמני שהמכונית יכולה לנסוע גם עם כמות שלילית של דלק. אז ניתן להתחיל ממיכל דלק כלשהו בלי דלק במכונית ולהשלים הקפה (וגם בסוף ההקפה המכונית ריקה). נניח שבמהלך ההקפה הכמות המינימלית של דלק במכונית היתה x ליטר (x הוא שלילי או אפס), וזה קרה כשהגענו למיכל y. אז אם נתחיל את ההקפה ממיכל y בלי דלק במכונית, כמות הדלק במכונית תהיה תמיד לא שלילית. מש"ל.

 

[טלמון סילבר]

ניסיון...

נתון:
e[1] + e[2] + . . . + e[n] = 0
כאשר [e[k הם מספרים חיוביים - כמויות הדלק במיכלים, ומספרים שליליים - צריכת הדלק עד המיכל הבא.
השאלה היא, אם קיים כזה מספר k, שבין כל הסכומים החלקיים של:
e[k] + e[k+1] + . . . + e[n] + e[1] + e[2] + . . . + e[k-1]
אין אף מספר שלילי..
נניח בדרך השלילה שלא קיים כזה k.
נתחיל לסכם את המספרים, למשל מ-[e[1.
כשנגיע לסכום שלילי (לפי הנחת השלילה, זה יקרה לפני השלמת מעגל), נתחיל לסכם את המספרים מחדש, החל מהמספר הבא, עד ששוב נגיע לסכום שלילי לפני השלמת המעגל.
וכן הלאה.
מכיוון שכמות המספרים סופית, ברגע מסוים נגיע שנית לסכום שלילי אחרי הוספת אותו המספר.
אבל בין שתי הפעמים שהוספת אותו המספר נתנה לנו סכום שלילי, עברנו מספר שלם של מעגלים! הסכום במעגל שלם שווה 0, וכך גם בכל הקטע הזה. אבל כל אחד מהנסיונות באותו קטע נתן מספר שלילי. יוצא שסכום כמה מספרים שליליים שווה 0.

 

[טלמון סילבר]

מספר הערות

1. כשהתחלתי להקליד, עוד לא היה הפתרון של עריסטו.
2. במקום "אותו מספר" כנראה הייתי צריך לכתוב "אותו איבר". ובכלל "אברים" במקום "מספרים".
3. האם הטענה נכונה גם למספר אינסופי של מיכלים? ובפרט, אם נתונה פונקציה מחזורית אינטגרבילית, עם מחזור T, והאינטגרל שלה מ-0 עד T שווה 0, האם קיים מספר כזה a, שהאינטגרל מ-a עד a+b אינו שלילי עבור כל b גדול מ-0?
לאילו סוגים של אינטגרל הטענה נכונה (רימן, סטילטייס, לבג)?
האם זה תלוי ברציפות הפונקציה?

 

[עריסטו]

לגבי אינסוף מיכלים

נראה לי שההוכחה שכתבתי פועלת גם במקרה זה (קח בתור a את המספר x שעבורו האינטגרל מ-0 עד x הוא מינימלי).

 

[טלמון סילבר]

נדמה לי

שעבור אינטגרל רימן ופונקציה בלתי רציפה, למשל עם המספר הסופי של מיכלים, הטענה בכלל לא נכונה. אני טועה?
ההוכחות שלך נחמדות

 

[עריסטו]

נסיון להוכחה שנייה

באינדוקציה.
עבור n=1 ברור שהטענה נכונה.
נניח שהטענה נכונה עבור n מיכלי דלק, ובמצב הנתון יש n+1 מיכלי דלק. אז יש מיכלים עוקבים x ו - y כך שניתן למלא מכונית ריקה ממיכל x ולנסוע עד מיכל y (אם אין מיכלים עוקבים כאלה אז כמות הדלק בכל המיכלים לא מספיקה להקפה). נעביר באופן זמני את כל הדלק ממיכל y למיכל x ונתעלם ממיכל y. לפי הנחת האינדוקציה כעת ניתן להקיף את המסלול. אבל אז ניתן להקיף גם את המסלול המקורי עם n+1 המיכלים.

 

[ipv6]

תוכל בבקשה להסביר את זה

"(אם אין מיכלים עוקבים כאלה אז כמות הדלק בכל המיכלים לא מספיקה להקפה)"
למה חייבים להיות שני מיכלים עוקבים :" x ו - y כך שניתן למלא מכונית ריקה ממיכל x ולנסוע עד מיכל y"?

 

[טלמון סילבר]

אתה מכיר את שיטת האינדוקציה?

אם כן, אז מה בדיוק לא הבנת?

 

[ipv6]

מובן שאני מכיר

לא הבנתי את הצעד שלו.
למה חייב להיות בהכרח זוג של מיכלי דולק עוקבים (X ו-Y בדוגמא שלו) שהדלק בראשון מספיק כדי להגיע לשני?

אשמח להסבר.

 

[טלמון סילבר]

כי הכמות הכללית של הדלק מספיקה לסיבוב מלא

נניח שישנם 3 מיכלים: a, b, c.
אם:
כמות הדלק ב-a אינה מספיקה להגיע ל-b,
וגם
כמות הדלק ב-b אינה מספיקה להגיע ל-c,
וגם
כמות הדלק ב-c אינה מספיקה להגיע ל-a,
אז סה"כ כמות הדלק בשלושתם a+b+c אינה מספיקה לסיבוב מלא מ-a עד a, בניגוד לנתוני החידה.

 

[ipv6]

תודה!

 

[טלמון סילבר]

חידה נוספת

בעצם רק תרגיל חישוב, שנראה מסובך, אך יש דרך פשוטה יחסית לפתור אותו.
נניח ששלושת המחוגים בשעון נעים ברציפות.
בשעה 1:12:00 אחד המחוגים (מחוג השעות) הוא חוצה הזווית בין שני המחוגים האחרים.
בכמה מצבים שונים של שלושת המחוגים אחד המחוגים הוא חוצה הזווית בין שני המחוגים האחרים?
זוויות בין שני המחוגים האחרים נחשבות רק גדולות מ-0 וקטנות מ-180°.
חוצה הזווית מחלק אותן לשתי זוויות, שכל אחת מהן גדולה מ-0 וקטנה מ-90°.
למשל המצבים ב-0:00:00 וב-6:00:00 לא נחשבים.
המצב ב-13:12:00 הוא אותו המצב כמו ב-1:12:00, וסופרים אותו פעם אחת בלבד.