עזרה עם גבול

[sagybp]

עזרה עם גבול

איך מוצאים את הגבול של הדבר הבא? 1+(n^2+1) + 2/(n^2+2) + ... + n/(n^2+n) ובמקרה והנסוחה שלמעלה יצא מבולגנת, הנה התאור המילולי: אחד חלקי (אן בריבוע ועוד אחד) ועוד שתיים חלקי (אן בריבוע ועוד שתיים) ועוד... ועוד אן חלקי (אן בריבוע ועוד אן). אני יודע שהגבול הוא 0.5, השאלה איך מגיעים אליו. זה אמור להיות עם כלל הסנדויץ´, לדעתי. הסדרה גדולה מהאיבר הראשון שהוא חצי - זה חצי סנדויץ´, מה עם החצי השני? שגיא

 

[sagybp]

כמובן שזאת סדרה ו-n שואף לאינסוף

 

[yatir]

האם

ה-(1+) בסוף קשור? אם כן, הסכום לא יכול להתכנס ל-חצי. יתיר

 

[sagybp]

הוא לא קשור...

ידעתי שזה יתבלגן כשזה מיושר לימין... איך מיישרים פה הודעה לשמאל?

 

[yatir]

תשתמש

ב- "תחילת קוד" כדי לכתוב נוסחא (ישור לשמאל) ואז כשאתה רוצה להמשיך לכתוב בעברית תשתמש ב "סיום קוד"

 

[sagybp]

אז הנה...

אז ככה:

1/(n^2+1) + 2/(n^2 + 2) + 3/(n^2 + 3) + ... + n/(n^2 + n)​

עכשיו מובן?

 

[yatir]

יש הבדל

בין ה-n שנמצא בריבוע לבין הn בסוף? האם שניהם שואפים לאיסוף? אם יש הבדל ביניהם (אז כדאי לקרוא להם בשמות שונים) ואז איך זה מתכנס לחצי אם n לא ידוע...? יתיר

 

[sagybp]

זה אותו n בדיוק

לדוגמא: כאשר n=3 אז האיבר נראה כך:

1/(3^2+1) + 2/(3^2+2) + 3/(3^2+3)​

כאשר n שואף לאינסוף האיבר שמתקבל שואף ל-0.5 (תנסה, למשל, עם n=5 ותראה שאנחנו כבר מאוד קרובים ל-0.5.

 

[איגור קרסיק]

שאלה

האם אתה מכיר את המשפט הבא: תהי f אינטגרבילית ב- [0,1] אזי מתקיים:

lim 1/n[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)] = integral from 0 to 1 of f(x)​

 

[sagybp]

לא

 

[טלמון סילבר]

ניסיון לפתור

1/(n*n+1) + 2/(n*n+2) + ... + n/(n*n) = = [1/(n*n+1)-1/(n*n)] + [2/(n*n+2)-2/(n*n)] + ... + [n/(n*n+n)-n/(n*n)] + 1/(n*n) + 2/(n*n) + ... + n/(n*n) = = -(1*1)/(n*n*(n*n+1)) -(2*2)/(n*n*(n*n+2)) - ... -(n*n)/(n*n*(n*n+n)) + n*(n+1)/(2*n*n)​

המינוסים שואפים ל-0, האבר האחרון (ערך הסכום השני) שואף לחצי.

 

[טלמון סילבר]

מקובל להגיב איכשהו: הבנתי, לא הבנתי