תשובה
זאתה שאלה ידועה עם פתרון סטנדרטי וטוויסט בסוף.
מתחילים בלהראות אם יש H כזו, אז היא חייבת להיות נורמלית.
 
אם יש לה ת"ח H מאינדקס 4, יש פעולה של G על המחלקות, כלומר הומומורפיזם p מ-G ל-S4.
הגרעין של הפעולה מוכל ב-H כמובן. ומחישוב מהיר zz |G/ker(p)|=4|H/ker(p)| zz
ומצד שני, ממשפט מסלול מייצב, zz |G/ker(p)| zz מחלק את הסדר של S4 כלומר מחלק את 24.
ולכן zz |G/ker(p)| zz הוא לכל היותר 4,8,12,24.
אם הסדר היה שמונה, היתה בחבורת המנה ת"ח 2-סילו מאינדקס 2, שאם היינו מרימים אותה ל-G היתה חוזרת להיות ת"ח מאינדקס 2, בסתירה.
אם הסדר היה 12, היתה בחבורת המנה ת"ח 2 סילו מאינדקס 3, שאם היינו מרימים אותה ל-G היתה חוזרת להיות ת"ח מאינדקס 3, בסתירה.
אם הסדר היה 24, היתה בחבורת המנה ת"ח 2-סילו מאינדקס 3 גם כן, ושוב פעם סתירה.
ולכן הסדר חייב להיות 4 (הוא לא יכול להיות 1 כי הפעולה לא טריוויאלית כמובן).
ולכן H=ker(p), כלומר H ת"ח נורמלית.
 
עכשיו G/H היא חבורת מנה מסדר 4, כלומר בהכרח אבלית או Z/4Z או Z/2Z x Z/2Z, בשני המקרים, יש ת"ח מאינדקס 2, ואז מרימים אותה למעלה במשפט ההתאמה ומקבלים ת"ח מאינדקס 2 ב-G, בסתירה.
