עזרה בסעיף

[globus1988]

עזרה בסעיף

הסתבכתי בסעיף ג' בשאלה המצורפת (בלי הכותרת). שאלה 1 שמציינים ברמז מצורפת כאן גם היא: בעיקרון מה שהוכחתי בשאלה 1 זה שבהינתן פונקציה f הרציפה בקטע [0,inf) כך שהגבול שלה שווה מספר ממשי L כלשהו כאשר x שואף לאינסוף, אזי יש ל-f מינימום בקטע אמ"מ קיים x0>=0 כך ש-f(x0)<=L
בסעיף ג' אני חושב שאין מינימום, כלומר לפי שאלה 1 אני רוצה להראות שלכל x0>=0 מתקיים f(x0)>L
פה אני מסתבך אם פתרון אי-השוויון f(x) <= 0 (כי במקרה שלנו L=0 לפי סעיף א') ואפילו יצא שכמה פעמים סתרתי את עצמי

מישהו יכול לעזור לי בבקשה?

 

[FineSilverMan]

יש לך פונקציה רציפה

שנעה בין [0,3] ל-[0,∞)
ושואפת ל-0.
&nbsp
אתה יכול לגזור את הפונקציה ולהראות שהיא לא מתאפסת בקרן 0 עד אינסוף. (או שהנגזרת בקרן תמיד שלילית).
&nbsp
אתה יכול להראות ש-f(x)>0 לכל x בקרן (בהתאם לשאלה 1) ולכן אין נקודת קיצון.

 

[globus1988]

לצערי עדיין איננו רשאים

להשתמש בנגזרת ולא למדנו את הנושא. ישנה עוד דרך להוכיח זאת?

 

[FineSilverMan]

פשוט לפרק לגורמים

אם נסתכל רק על המונה, האם הוא שלילי בקרן? (כי המכנה תמיד חיובי)
&nbsp
arctan(x) תמיד חיובי. (למה?)
2x+sinx תמיד חיובי. (למה?)
כלומר המונה תמיד חיובי ולכן הפונקציה חיובית בקרן.
&nbsp
אני חושב שזה מספיק כדי להוכיח שהפונקציה לא מקבלת מינימום בקרן.
&nbsp
אולי עדיף להוכיח בשלילה -- נניח שהיא כן מקבלת מינימום ב-x0, כלומר קיימת נקודה x1 כלשהי שהיא מקבלת מקסימום (כי הפונקציה שואפת לאפס באינסוף.)
כלומר f(x1)-f(x0)>0 כאשר x1>x0. מציבים בפונקציות עצמן, משחקים עם האלגברה ומגיעים למסקנה שזה לא אפשרי...
&nbsp

 

[globus1988]

תודה! :

אני יודע ש-arctan x חיובית לכל x>0 לפי גרף הפונקציה, אבל איך מנמקים זאת פורמאלית בנימוק שיניח את הדעת?
לגבי 2x+sinx - לא ברור לי למה תמיד חיובי כי sin x יכול להיות שלילי ואני מסבך פה עם הדרך להוכיח שהתוצאה תמיד חיובית...
תוכל לסייע לי?

 

[FineSilverMan]

חוזרים ל-sin ו-cos

כלומר, y=arctanx ==> x=tany=siny/cosy
אם נסתכל על הרביע הראשון בלבד, ל-tany יש אסימפטוטה אנכית בחצי פי. (כי עבור חצי פי, cosy=cos0.5pi=0)
ולכן arctan תמיד חיובית.
&nbsp
כמובן ש-sinx יכולה להיות שלילית, אבל מקסימום של מינוס 1 וזה רק עבור 1.5 פי בפעם הראשונה. בנקודה הזו, 2x כבר מגיעה ל-3 פי ועל כן הביטוי תמיד חיובי.
&nbsp
https://fbcdn-sphotos-f-a.akamaihd....6_10152579114317098_9220552651978803447_o.jpg