תחשוב מה צריך להראות
אתה בוחר וקטור, וצריך למצוא וקטור מאונך אליו.
כשאתה בוחר וקטור v, אתה מגדיר בעזרת המכפלה הפנימית פונקציונאל - f(u)=<u,v>.
אתה צריך למצוא u במרחב השני ש-f(u)=0, זה אומר למצוא וקטורים מאונכים (ו-u שונה מאפס).
 
עכשיו אחד הדברים הנחמדים באופן כללי לפונקציונאלים - אם יש לך מרחב V, ופונקציונאל לינארי f עליו. או ש-f פונקציונאל האפס ואז הגרעין הוא כל V, או שהפונקציונאל איננו פונקציונאל האפס, ואז הוא על, ואז ממשפט המימדים, המימד של הגרעין הוא המימד של V פחות 1.
הפונקציונאל שתיארתי הוא לא אפס (f(v)>0 אם v המקורי שונה מאפס), ולכן המימד של הגרעין שלו הוא n-1.
ואני טוען שתמיד תת-מרחב במימד n-1 נחתך עם תת-מרחב במימד n-1 לא טריוויאלית עבור n>2.
זה ממשפט המימדים
 
אז זאת האבחנה שתיאר גיל. נתאר אותה ב-R^3.
אתה לוקח וקטור מהמישור הראשון. קובע את f(u).
הגרעין של f(u) הוא דו-מימדי.
את לוקח את המישור השני, הוא דו-מימדי.
החיתוך ביניהם הוא לפחות 1 מימדי (תחשוב על זה גיאומטרית) ולכן יהיה לך וקטור במישור השני שגם בגרעין, כלומר מאונך ל-v.
