עזרה בבעיה

[tomiitom2]

עזרה בבעיה

שלום לכולם,

אשמח לעזרה בבעיה המצורפת.
תודה מראש ושבת שלום לכולם.

 

[nox120]

התחל עם אסטרטגיה פשוטה:

בחירת k והפיכת כל הקלפים שהמספר הכתוב עליהם קטן מ-k.
&nbsp
למשל: אם k=6, אז נהפוך את כל הקלפים שכתוב עליהם 1 עד 5.
אם היו 5 כאלו, אחרי הפעולה יהיו 0.
אם היו 4, יהיו לכל היותר 1.
אם היו 3, יהיו לכל היותר 2.
אם היו 2, יהיו לכל היותר 2.
אם היו 1, יהיו לכל היותר 1.
אם היו 0, יהיו 0.
&nbsp
מכאן, יהיו לכל היותר 2 שקטנים מ-6 ולכל הפחות שמונה שגדולים או שווים מ-6, והסכום הוא לפחות 1+2+6+7+8+9+10+11+12+13=79.
&nbsp
עבור איזה k מתקבל חסם תחתון מקסימלי לסכום?
&nbsp
אחר כך נסה לשפר את האסטרטגיה.
&nbsp
מצד שני איך אפשר לרשום את המספרים על הקלפים, כך שאפילו אם השחקן יודע מה כתוב על כל צד של כל קלף, הסכום שיקבל יהיה קטן ככל האפשר?

 

[בחשכת הלילה]

האם השאלה היא

לגבי האסטרטגיה האופטימלית במקרה הכללי?
או, בהתאם לפשט של הכתוב, יש לומר מה המספר/ים?

 

[עריסטו]

פתרון

התשובה היא 105.
השחקן יכול להתחייב על סכום של 105: אם סכום המספרים שהוא רואה קטן מ-105 הוא יהפוך את כל הקלפים, אחרת הוא לא יהפוך שום קלף. מצד שני, הוא לא יכול להבטיח סכום גדול מ-105, כי אם הוא יראה את המספרים 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (שסכומם 105) ייתכן שאם הוא יתחיל להפוך קלפים יופיעו המספרים 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 בסדר הזה מהקטן לגדול, ולא משנה באיזה שלב הוא יחליט להפסיק להפוך - תמיד סכום המספרים הגלויים לא גדול מ-105.

 

[tomiitom2]

תודה רבה לעוזרים!

עזרתם לי רבות. המון תודה!