אתה משתמש בדפדפן מיושן. יתכן והאתר הנוכחי יוצג באופן שגוי, כמו כן אתרים אחרים ברשת.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
עזרה באינפי
- פותח הנושא inbar86
- פורסם בתאריך
זה יחסית קל להוכיח, אני חושב.
יהיו a ו-b שני מספרים ממשיים אי רציונלים. עד כמה שאני מבין, המשמעות היא שניתן להציג אותם כסדרה סופית של ספרות עשרוניות, נקודה עשרונית, וסדרה אינסופית של ספרות אינסופיות. מכיוון שתמיד ניתן לבחור בין יצוג עם 0 ליצוג עם 9, נבחר ב-0. (אם לא הבנתם את המשפט הזה, תתעלם ממנו) כעת, מכיוון ששני המספרים שונים, קיימת ספרה באחת הסדרות ששונה. נאמר הספרה ה-i אחרי הנקודה. כעת (יש להפריד למקרים אם הספרה היא 9 וכו´, אבל בעקרון) נבחר ספרה (או צמד ספרות) שיותר גדולה מהספרה ה-i במספר הקטן ויותר קטנה מהספרה ה-i במספר הגדול. כעת, נתבונן במספר הרציונלי שמורכב מאותה סדרת ספרות, רק שבמקום ה-i מופיעה ספרה חדשה. המספר הזה נמצא בין שני המספרים a ו-b, והוא רציונלי. מ.ש.ל. פתרון אחר: נניח בשלילה שקיימים שני מספרים אי רציונלים a<b כך שאין ביניהם מספר רציונלי. כמו-כן, נניח כי הם המקסימלים במובן הבא: נסמן d=(b-a)/2, ואז קיים מספר רציונלי בקטע (a-d,b) וקיים מספר רציונלי בקטע (a,b+d). שימו לב שאין זו הגבלה, שכן אם לא קיים מספר בקטע הנ"ל, הרי שאפשר להאריך את הקטע המקורי ב-d ולקבל קטע חדש חסר רציונלים. התהליך חייב להסתיים, שכן כל פעם קופצים מרחק קבוע (d) ואי אפשר להמשיך עד אינסוף כי מתישהו ניתקל במספר שלם... כעת, נסמן ב-p את המספר הרציונלי שבקטע (a-d,a) וב-q את המספר הרציונלי שבקטע (b,b+d) נשים לב ש: a-d +b = a + (a-b)/2 +b = a + (a+b)/2 > 2a b+d+a = b + (b-a)/2 + a = b + (b+a)/2 < 2b ולכן: 2a < a - d + b < p + q < b + d + a < 2b נחלק ב-2 ונקבל ש-p+q/2 נמצא בקטע (a,b) בסתירה להנחה שאין בקטע מספרים רציונלים. מ.ש.ל. אהד.
יהיו a ו-b שני מספרים ממשיים אי רציונלים. עד כמה שאני מבין, המשמעות היא שניתן להציג אותם כסדרה סופית של ספרות עשרוניות, נקודה עשרונית, וסדרה אינסופית של ספרות אינסופיות. מכיוון שתמיד ניתן לבחור בין יצוג עם 0 ליצוג עם 9, נבחר ב-0. (אם לא הבנתם את המשפט הזה, תתעלם ממנו) כעת, מכיוון ששני המספרים שונים, קיימת ספרה באחת הסדרות ששונה. נאמר הספרה ה-i אחרי הנקודה. כעת (יש להפריד למקרים אם הספרה היא 9 וכו´, אבל בעקרון) נבחר ספרה (או צמד ספרות) שיותר גדולה מהספרה ה-i במספר הקטן ויותר קטנה מהספרה ה-i במספר הגדול. כעת, נתבונן במספר הרציונלי שמורכב מאותה סדרת ספרות, רק שבמקום ה-i מופיעה ספרה חדשה. המספר הזה נמצא בין שני המספרים a ו-b, והוא רציונלי. מ.ש.ל. פתרון אחר: נניח בשלילה שקיימים שני מספרים אי רציונלים a<b כך שאין ביניהם מספר רציונלי. כמו-כן, נניח כי הם המקסימלים במובן הבא: נסמן d=(b-a)/2, ואז קיים מספר רציונלי בקטע (a-d,b) וקיים מספר רציונלי בקטע (a,b+d). שימו לב שאין זו הגבלה, שכן אם לא קיים מספר בקטע הנ"ל, הרי שאפשר להאריך את הקטע המקורי ב-d ולקבל קטע חדש חסר רציונלים. התהליך חייב להסתיים, שכן כל פעם קופצים מרחק קבוע (d) ואי אפשר להמשיך עד אינסוף כי מתישהו ניתקל במספר שלם... כעת, נסמן ב-p את המספר הרציונלי שבקטע (a-d,a) וב-q את המספר הרציונלי שבקטע (b,b+d) נשים לב ש: a-d +b = a + (a-b)/2 +b = a + (a+b)/2 > 2a b+d+a = b + (b-a)/2 + a = b + (b+a)/2 < 2b ולכן: 2a < a - d + b < p + q < b + d + a < 2b נחלק ב-2 ונקבל ש-p+q/2 נמצא בקטע (a,b) בסתירה להנחה שאין בקטע מספרים רציונלים. מ.ש.ל. אהד.
טלמון סילבר
New member
או:
0<a<b ניקח
0<a<b ניקח
n > 1/(b-a) k = 0, 1, 2, 3, ... k/n בקפיצות מספיק קטנות חייב לחדור ביניהם
מסווגים את אי הרציפות לפי הנוחות.
כלומר, נקודות אי רציפות גורמות לאי נוחות. לכן, מסווגים אותם לפי רמת אי הנוחות שהן גורמות לנו. נקודת אי רציפות סליקה היא הכי נוחה מכולן, וגם שמה מעיד על זה. הגדרה: תהי f פונקציה ממשית המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבול של f ב-a הוא L, ו-f אינה מוגדרת ב-a או שערכה שם אינו L, אזי a נקראת נקודת אי רציפות סליקה. דוגמה לפונקציה כזו נתונה בחלק העליון של האיור. אי הנוחות שהנקודה גורמת לנו אינה כל כך נוראית, בגלל שאפשר פשוט להגדיר פונקציה חדשה, g שתהיה מוגדרת כך:
כלומר, נקודות אי רציפות גורמות לאי נוחות. לכן, מסווגים אותם לפי רמת אי הנוחות שהן גורמות לנו. נקודת אי רציפות סליקה היא הכי נוחה מכולן, וגם שמה מעיד על זה. הגדרה: תהי f פונקציה ממשית המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבול של f ב-a הוא L, ו-f אינה מוגדרת ב-a או שערכה שם אינו L, אזי a נקראת נקודת אי רציפות סליקה. דוגמה לפונקציה כזו נתונה בחלק העליון של האיור. אי הנוחות שהנקודה גורמת לנו אינה כל כך נוראית, בגלל שאפשר פשוט להגדיר פונקציה חדשה, g שתהיה מוגדרת כך:
g(x) = f(x) when x is not a g(a) = L
אפשר להוכיח בקלות ש-g רציפה ב-a והנה, סילקנו את הנקודה הבעייתית. (ולכן קוראים לה "סליקה") נקודת אי רציפות ממין ראשון: זו נקודה טיפה פחות נוחה, אבל גם היא לא גורמת ליותר מדי בעיות. וההגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבולות החד צדדיים הם L1 ו-L2 והם שונים זה מזה, אז a נקראת נקודת אי רציפות ממין ראשון. דוגמה לנקודה כזו אפשר לראות בחלק האמצעי של האיור. נקודת אי רציפות כזו גורמת ליותר בעיות, בגלל שאי אפשר "לסלק" אותה. אם נגדיר את (g(a כ-L1, אז הפונקציה לא תהיה רציפה מימין. ואם נגדיר אותה כ-L2, אז הפונקציה לא תהיה רציפה משמאל. אבל בכל זאת, ראינו שאפשר לתקן את הפונקציה קצת. זה מועיל באינטגרלים וכו´, אבל זה טיפה יותר בעייתי מסליקות. ולבסוף, נקודת אי רציפות ממין שני, היא כל נקודת אי רציפות שאינה סליקה או ממין ראשון. דוגמה לנקודה כזו נמצאת בחלק התחתון של האיור. (הגבולות הם אינסוף ומינוס אינסוף). דוגמה נוספת, היא פונקציית דיריכלה, שעבורה כל הישר הממשי הוא נקודות אי רציפות ממין שני. עוד דוגמה היא הפונקציה שהובאה פה קודם לבדיקת תחומי גזירות ורציפות. אפשר טיפה לראות שנקודות אי רציפות ממין שני הן "מפלצות" - אי אפשר לטפל בהן בדרך שיטתית ולתקן את המצב. למרות שבדוגמה שהבאתי, אפשר אולי טיפה לתקן את המצב אם אומרים (אומרים! ולא מגדירים!) שהנקודה a היא ממין ראשון במובן הרחב. כלומר, אם היה לנו מספר אינסוף (או מינוס אינסוף) אז באמת הנקודה הייתה ממין ראשון. בקשר לפונקציה שלך - איזו נקודה צריך לסווג? אהד.מסווגים את אי הרציפות לפי הנוחות.
כלומר, נקודות אי רציפות גורמות לאי נוחות. לכן, מסווגים אותם לפי רמת אי הנוחות שהן גורמות לנו. נקודת אי רציפות סליקה היא הכי נוחה מכולן, וגם שמה מעיד על זה. הגדרה: תהי f פונקציה ממשית המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבול של f ב-a הוא L, ו-f אינה מוגדרת ב-a או שערכה שם אינו L, אזי a נקראת נקודת אי רציפות סליקה. דוגמה לפונקציה כזו נתונה בחלק העליון של האיור. אי הנוחות שהנקודה גורמת לנו אינה כל כך נוראית, בגלל שאפשר פשוט להגדיר פונקציה חדשה, g שתהיה מוגדרת כך:
כלומר, נקודות אי רציפות גורמות לאי נוחות. לכן, מסווגים אותם לפי רמת אי הנוחות שהן גורמות לנו. נקודת אי רציפות סליקה היא הכי נוחה מכולן, וגם שמה מעיד על זה. הגדרה: תהי f פונקציה ממשית המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבול של f ב-a הוא L, ו-f אינה מוגדרת ב-a או שערכה שם אינו L, אזי a נקראת נקודת אי רציפות סליקה. דוגמה לפונקציה כזו נתונה בחלק העליון של האיור. אי הנוחות שהנקודה גורמת לנו אינה כל כך נוראית, בגלל שאפשר פשוט להגדיר פונקציה חדשה, g שתהיה מוגדרת כך:
g(x) = f(x) when x is not a g(a) = L
אפשר להוכיח בקלות ש-g רציפה ב-a והנה, סילקנו את הנקודה הבעייתית. (ולכן קוראים לה "סליקה") נקודת אי רציפות ממין ראשון: זו נקודה טיפה פחות נוחה, אבל גם היא לא גורמת ליותר מדי בעיות. וההגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של a. אם הגבולות החד צדדיים הם L1 ו-L2 והם שונים זה מזה, אז a נקראת נקודת אי רציפות ממין ראשון. דוגמה לנקודה כזו אפשר לראות בחלק האמצעי של האיור. נקודת אי רציפות כזו גורמת ליותר בעיות, בגלל שאי אפשר "לסלק" אותה. אם נגדיר את (g(a כ-L1, אז הפונקציה לא תהיה רציפה מימין. ואם נגדיר אותה כ-L2, אז הפונקציה לא תהיה רציפה משמאל. אבל בכל זאת, ראינו שאפשר לתקן את הפונקציה קצת. זה מועיל באינטגרלים וכו´, אבל זה טיפה יותר בעייתי מסליקות. ולבסוף, נקודת אי רציפות ממין שני, היא כל נקודת אי רציפות שאינה סליקה או ממין ראשון. דוגמה לנקודה כזו נמצאת בחלק התחתון של האיור. (הגבולות הם אינסוף ומינוס אינסוף). דוגמה נוספת, היא פונקציית דיריכלה, שעבורה כל הישר הממשי הוא נקודות אי רציפות ממין שני. עוד דוגמה היא הפונקציה שהובאה פה קודם לבדיקת תחומי גזירות ורציפות. אפשר טיפה לראות שנקודות אי רציפות ממין שני הן "מפלצות" - אי אפשר לטפל בהן בדרך שיטתית ולתקן את המצב. למרות שבדוגמה שהבאתי, אפשר אולי טיפה לתקן את המצב אם אומרים (אומרים! ולא מגדירים!) שהנקודה a היא ממין ראשון במובן הרחב. כלומר, אם היה לנו מספר אינסוף (או מינוס אינסוף) אז באמת הנקודה הייתה ממין ראשון. בקשר לפונקציה שלך - איזו נקודה צריך לסווג? אהד.מתנחלת לא גאה
New member
ענבר זאת את? ז"א..
שלמדה אצל ליטל...את ניגשת למועד ב? גם נוגה? כבר קבלתן את הציונים באנליטית? נעמה
שלמדה אצל ליטל...את ניגשת למועד ב? גם נוגה? כבר קבלתן את הציונים באנליטית? נעמה
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.