עוצמות אינסופיות

[liavt]

עוצמות אינסופיות

קיוויתי שמישהו יוכל לתת לי דוגמה לעוצמה אינסופית שלא נמנית עם עוצמות הקבוצות: ZZZ N,P, P(P(N))...ZZZ

 

[IMLost]

מה?

מה עם R?

 

[עריסטו]

zzz |R|=|P(N)| zzz

 

[liavt]

מה שאריסטו אמר

 

[עריסטו]

../images/Emo41.gif

http://planetmath.org/encyclopedia/GeneralizedContinuumHypothesis.html

 

[the new L]

אלף אומגה היא לא דוגמה לעוצמה

שאינה נמצאת בסדרה לעיל?

 

[עריסטו]

לא חשבתי על זה

נכון, חשבתי על האפשרות של עוצמה שנמצאת בין שניים מאיברי הסדרה, לא חשבתי על האפשרות של עוצמה הגדולה מכל איברי הסדרה.

 

[liavt]

חלק מהמושגים לא מוכרים לי

אם אני מבין נכון הכוונה היא שהטענה שאין עוצמה הנמצאת בין שתי עוצמות עוקבות בסדרה הנ"ל ולא שווה לאף אחת מהן היא לא כריעה. האם הטענה שיש עוצמה הגדולה מכל העוצמות בסדרה הנ"ל היא כריעה?

 

[MelodicTruth]

אני לא בטוח שהבנתי את השאלה.

אם הכוונה לסדרה 0_ב, 1_ב...n_ב לכל n טבעי, אז w_ב הוא מונה בעל התכונה הרצויה. אם הכוונה היא לסדרה a_ב לכל סודר a, אז כמובן שאין מונה גדול מכל ה-ב. יתכן שהשאלה שלך מתייחסת באופן כללי לתכונה של מונים גבוליים חזקים? מונה גבולי חזק (strong limit cardinal) הוא מונה k שמקיים k>2^j לכל j<k. אם k הוא גם רגולרי (כלומר k שווה לקופינליות שלו) וגדול מ-0א, אז הוא נקרא "בלתי נגיש", ולא ניתן להוכיח את הקיום שלו ב-ZFC (אבל ניתן להראות ש-ZFC עקבית עם הטענה שלא קיים מונה כזה). אם קיים k כזה, אז עבור כל k>j, כל איבר בסדרה באורך w שמורכבת מ-j, 2^j, 2^2^j וכו' הינו קטן מ-k. ניתן לקבל תוצאות הרבה יותר חזקות על סדרות של קבוצת החזקה, אם רק מניחים את קיומם של מונים מספיק גדולים. למשל, אם קיים מונה רמזי, אז |(k=|P_L(k עבור כל k אינסופי, כאשר (P_L(k היא קבוצת התת קבוצות של k ב-L.

 

[liavt]

רוב המושגים לא מוכרים לי

לצערי הרב לא עשיתי קורס בתורת הקבוצות, ולכן רוב המושגים אינם מוכרים לי לצערי.

 

[the new L]

האיחוד של כל הקבוצות שכתבת כאן

הוא קבוצה שעוצמתה לא שייכת לקבוצת העוצמות האלה, ועוצמתה היא (אם אינני טועה) אלף אומגה.

 

[matanZ]

האיחוד של כל אלו הוא לא קבוצה.

אבל אולי אני כותב את זה כי אני מבין את "..." אחרת ממך.

 

[the new L]

כנראה

אני מבין את ... כך: הקבוצות הן

N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ....​

כלומר, מדובר פה על כמות בת מניה של קבוצות (מספר הפעמים שמפעילים את הפעולה של קבוצת החזקה הוא סופי לכל איבר בשרשרת) איך אתה מבין את ה ... ?

 

[the new L]

והעובדה שהאיחוד שלהן הוא קבוצה

נובעת ישירות מאקסיומת האיחוד בZF.

 

[matanZ]

אני הבנתי את "..."

כמייצג את כל "סדרת" ה-ב, כלומר כסדרה שכוללת איבר מתאים לכל מספר סודר.

 

[1ca1]

ומהו מספר סודר (נניח בתורת הקבוצות הנאיבית)?

הרי הסודרים הם בעצם יחס שקילות, ולהגיד שעוצמת קבוצה שווה לאלף-אפס זה להגיד שהיא שקולה לN.

 

[liavt]

אוקיי

א. מהי העוצמה ב_0 וכו? ב. האם מישהו יכול לתת לי יותר מ-א0 עוצמות אינסופיות?

 

[MelodicTruth]

עוצמתה w_א בנוכחות GCH.