עוצמה

[basenew]

עוצמה

איך מסבירים את ההיגד הבא: כל תת-קבוצה אינסופית של קבוצת הטבעיים (או של קבוצה בת-מנייה כלשהי) היא בת-מנייה.?

 

[הפרבולה]

אם קבוצה היא בת מניה אז כל תת קבוצה שלה היא בת מניה.

 

[basenew]

האם

האם לא משחק כאן הכלל : השלם גדול מחלקיו? מדוע הכלל לא תקף?

 

[הפרבולה]

לא בטוח שהבנתי את השאלה

בכל אופן כיוון שהעוצמה הכי קטנה של קבוצה אין סופית היא "בת מניה" אז כל תת קבוצה אין סופית של קבוצה בת מניה לא יכולה להיות בעלת עוצמה גדולה יותר ולכן גם היא בת מניה.

 

[טלמון סילבר]

מה זה "גדול"

מה זה אומר, שמשהו גדול ממשהו אחר?
זה אומר שמוגדרת עליהם פונקציה, המקבלת ערכים מספריים ממשיים.

למשל, למשולשים במישור ניתן להגדיר "שטח", ולומר שמשולש מסוים גדול ממשולש אחר, במובן שהשטח שלו גדול משטח המשולש האחר.

מכיוון שנפוצות גם פונקציות מספריות ממשיות אחרות למשולשים במישור, למשל "היקף", אזי לא מובן מה זה "משולש מסוים גדול ממשולש אחר", וחייבים לפרט, באיזה מובן "גדול יותר", למשל, "בעל שטח גדול יותר" או "בעל היקף גדול יותר".

בנוגע לקבוצות בעלות מספר סופי של אברים, ניתן להגדיר בתור פונקציית ה"גודל" את מספר האברים בקבוצה. וכך ניתן להגדיר שקבוצה גדולה מקבוצה אחרת, אם מספר אבריה גדול יותר.

לפונקציה זו קוראים לאמיתו של דבר "עוצמה" (נדמה לי שנכון יותר לכתוב בלי ו"ו), ואומרים שלקבוצה מסוימת יש עוצמה גדולה מזו של קבוצה אחרת.

ישנה שיטת גן הילדים להשוואת עוצמות של שתי קבוצות סופיות.
נניח שישנה קבוצת הבנות, ישנה קבוצת הבנים, ואנו רוצים לבדוק לאיזו משתי הקבוצות הללו יש עוצמה גדולה יותר.

השיטה היא שמעמידים אותם בזוגות-זוגות, בכל זוג נציג אחד מכל קבוצה: בת ובן.
יכולות להיות שלוש תוצאות אפשריות:

- או שכל הילדים הסתדרו בזוגות, אף בת לא נשארה בלי בן זוג, ואף בן לא נשאר בלי בת זוג. במקרה זה אומרים ששתי הקבוצות שוות בעוצמתן, בעלות אותה עוצמה.

- אם כל הבנות מסודרות, ונשארו בנים בלי בנות זוג (לפחות בן אחד), אז אומרים שעוצמת קבוצת הבנים גדולה מעוצמת קבוצת הבנות.

- כמו במקרה הקודם, אבל להיפך.

דבר אחר, אם יש בקבוצות אינסוף אברים. "אינסוף" זה לא מספר, ואי אפשר להשתמש בו להשוואת "גודל".
מקסימום מה שאפשר לעשות בשלב זה, זה להגדיר שכל קבוצה אינסופית היא בעלת עוצמה גדולה יותר מהעוצמה של כל קבוצה סופית.

הכי מצחיק בסיפור הזה, זה שגם להשוואת עוצמות של קבוצות אינסופיות משתמשים באותה השיטה של גן הילדים!

אלא שכאן משתדלים להציב את כל אברי שתי הקבוצות בזוגות-זוגות, כך שאף אחד לא יישאר לבד.
כי אם הקבוצות אינסופיות, לאמיתו של דבר אפשר לסדר אותן בזוגות - בדרכים שונות, וגם תוצאות ההשוואה עלולות להיות שונות!
לכן, כאן אנו מחפשים בכוונה דרך כזו, שכולם יהיו מסודרים!

אם הצלחנו, אומרים לפי ההגדרה ששתי הקבוצות הן בעלות אותה עוצמה.

אם לעולם לא נצליח לסדר את כולם בזוגות, כלומר, איך שלא נסדר בזוגות, תמיד יישארו בצד אברים של אחת הקבוצות, אז:

א. אז תמיד יישארו בצד רק אברים של אחת הקבוצות! אין מצב, שיכולים להישאר בצד אברים של אחת הקבוצות או של האחרת, תלוי בדרך בה ניסינו לסדר אותם בזוגות. אם פעם אחת נשארו בצד אברים של אחת הקבוצות, אז לעולם לא נצליח לסדר אותם בזוגות כך שיישארו בצד אברים מהקבוצה השנייה.

ב. הקבוצה, שאבריה נשארים בצד בכל ניסיון לסדר את שתי הקבוצות בזוגות, נחשבת לבעלת עוצמה גדולה יותר.

דוגמה. תהי A קבוצת המספרים הטבעיים (בהמשך, נצבע את אבריה בכחול), וקבוצה B - קבוצת המספרים הטבעיים המתחלקים ב-7 (נצבע אותם באדום).
ננסה להציב אותם בזוגות, כך שאף איד לא יישאר בצד:
1 - 7
2 - 14
3 - 21
4 - 28
5 - 35
6 - 42
7 - 49
. . . . .
וכו'.
כך אפשר להמשיך בלי סוף, וכולם בלי יוצא מן הכלל יהיו מסודרים.
לפיכך, שתי הקבוצות הללו הן בעלות אותה עוצמה.

באופן כללי, אם נתונות שתי קבוצות אינסופיות, אשר כל אחת מהן אפשר לסדר את אבריה בטור עורפי אינסופי, בזה אחר זה, אז שתי הקבוצות הן בעלות אותה עוצמה.
לקבוצות כאלו קוראים "בנות מנייה" (יעני אפשר לִמנות את אבריהן, למַספֵּר אותם: ראשון, שני, שלישי, ... כל אבר יקבל בסופו של דבר איזשהו מספר סידורי)

 

[basenew]

תודה