עוד שאלה מרגשת

[Shiberia]

עוד שאלה מרגשת

האם האינטגרל של SINX/X מתכנס בהחלט על R? אם לא אז הוא ודאי לא מתכנס לבג. תודה

 

[טלמון סילבר]

הרושם הראשוני שלי הוא, שלא.

אם בכל קטע מ-kп עד k+1)п) נחליף את x בערך הגדול ביותר שלו (k+1), צריך להתקבל משהו כמו

1/1 + 1/2 + 1/3 + . . .​

(כפול משהו קבוע) שזה לא מתכנס. לא כך?

 

[טלמון סילבר]

זה נראה לי מובן מאליו:

אסמן (a(k את האינטגרל של

| sin(x) / x |​

מ-kп עד k+1)п) עבור k חיוביים. אז ברור ש:

a(k) > | cos((k+1)п) - cos(kп) | / (k+1) = 2 / (k+1)​

והסכום של (a(k כידוע שואף לאינסוף. מה לא ברור?

 

[איייייל]

אכן

אני לא בזה יותר מדי, אבל ממה שהבנתי האינטגרל אכן לא מתכנס לבג, אבל האינטגרל הלא-אמיתי (כלומר הגבול של האינטגרל על קטע סופי כאשר גבולות הקטע שואפים לפלוס-מינוס אינסוף) כן מתכנס, והוא שווה לפאי. אולי מישהו שלמד פונקציות ממשיות יוכל לתת תשובה יותר מוסמכת...

 

[pallidfool]

לא מתכנס בהחלט.

ניתן להראות זאת ע"י מבחן השוואה. ראשית אוכיח שהאינטגרל שבו הסינוס מוחלף בקוסינוס אינו מתכנס בהחלט. מתקיים:

|cos x|/x >= (cos^2 x)/x = 1/2x + (cos 2x)/2x​

אם האינטגרל הנתון מתכנס, גם האינטגרל של הביטוי הימני בשורה הנ"ל יתכנס (טריביאלי), ולכן אחד חלקי שני איקס מבוטא ע"י הפרש שני ביטויים שהאינטגרל שלהם מתכנס, ולכן גם האינטגרל שלו מתכנס - סתירה. עכשיו אפשר להוכיח לגבי סינוס עם משהו דומה למה שעשיתי למעלה, או אולי איזו הצבה באינטגרל, אני חושב...