סתם דבר חמוד...

[Fingertip]

סתם דבר חמוד...

שודים הראה לנו אתמול במפגש... חמשת המספרים החשובים ביותר במתטיקה (פחות או יותר) הם 0,1,e,pi,i. לכן, השוויון המצורף חמוד. אהד.

 

[טלמון סילבר]

זה מזכיר(?) שאלה (לא קשה) מאנליזה:

מה גדול יותר: פי בחזקת אי, או להיפך?

 

[Fingertip]

שאלה יפה...

פתרון שלי: נסמן: f(x)=x-elnx. נגזור, ונקבל שהפונקציה עולה בקטע [e,2pi]. מכיוון ש-f(e)=0, הרי ש-f(pi)>0 ולכן pi>elnpi או, אם נפעיל אקספוננט על שני האגפים: e^pi > pi^e. כנדרש. אהד.

 

[טלמון סילבר]

זו שאלונת עם המשכים...

פתרון נכון, כמובן. בדרך כלל מנתחים את הפונקציה ln(x)/x כש- x>1 למשל, ורואים שיש לה מקסימום יחידי בנקודה e, ולכן e בחזקת a גדול מ- a בחזקת e עבור כל a גדול מ-1 ושונה מ-e. מעניין הקשר בין זוג הערכים השונים של x, שיש להם אותו ערך של הפונקציה הזאת (אחד מהם קטן מ-e, והשני גדול מ-e), למשל 2 ו-4, שאחד מהם בחזקת השני שווה לשני בחזקת הראשון. המשך. משוואה ראשונה. x בחזקת x בחזקת x וכן הלאה עד אינסוף = 2. חבל שאני לא יכול "לצייר" את זה: כל x ממוקם ימינה ולמעלה ביחס לקודם, ואין שימוש בסוגריים. במקום ה-x האחרון מציירים 3 נקודות לסימון "וכן הלאה עד אינסוף", למרות שזה לא מדוייק: יותר נכון יהיה לסמן את ה-3 נקודות לכיוון שמאלה ולמטה. המשוואה השנייה זהה לחלוטין לראשונה, רק במקום = 2, עכשיו = 3. אבל הפתרון של שתי המשוואות שוֹנֶה לחלוטין!

 

[Fingertip]

לא ממש הבנתי מה בחזקת מה...

החזקה השנייה, למשל, הולכת על הבסיס או על המעריך? אהד.

 

[Fingertip]

בעצם, כן הבנתי, ועכשיו יש לי תשובה!

אבל אני לא מבין למה אמרת ששתי התשובות מאוד שונות! ולמעשה, לכל n התשובה מאוד דומה. אהד.

 

[טלמון סילבר]

עכשיו בדיוק מתחיל הסיפור:

לפני-כן הערה קטנה: "מצאנו" את X, אבל לא הוכחנו שהוא מהווה פתרון למשוואה! כלומר: אם איקס בחזקת... שווה 2, אז איקס בחזקת (......) שווה 2 (עכשיו אפשר לעקוף את הלוגריתם וישר לכתוב, אז איקס בחזקת 2 שווה 2, ואז איקס שווה שורש 2 של 2. אבל עדיין צריך להוכיח את ההיפך: שאם איקס שווה שורש 2 של 2, אז איקס בחזקת....... אכן שווה 2. כלומר לבדוק את ההצבה. וכנ"ל ל-3 ולכל N. אבל לא זה הסיפור. נחזור לפונקציה ln(x)/x ומכיוון ש-3 גדול מ-e, אז קיים מספר Q קטן מ-e, שערך הפונקציה עליו ועל 3 שווים. כלומר שורש 3 של 3 שווה שורש Q של Q. עכשיו, שים במשוואה "איקס בחזקת...." Q במקום 3, ויֵצֵא לך שאיקס שווה שורש Q של Q. אכן, שורש Q של Q באמת שווה לשורש 3 של 3, כלומר הביטוי עם אינסוף החזקות יהיה אותו דבר אחרי ההצבה. אבל התוצאה לא יכולה להיות שווה בו זמנית גם ל-3 וגם ל-Q. נחזור להערה. להוכיח את ההתאמה באמת לא פשוט. אבל קל מאוד להוכיח את ההגבלה. במקרה של 2, הביטוי האינסופי לא גדול מ-2. גם נכון, שבמקרה של N הביטוי, אחרי הצבת שורש N של N, אכן מוגבל: לא גדול מ-N. עכשיו, במקרה של 3 (או כל מספר אחר גדול מ-e), הביטוי עם הצבת "הפתרון" קטן או שווה ל-3, אבל גם קטן או שווה Q. כלומר הוא לעולם לא יהיה שווה 3.

 

[Fingertip]

מצטער... לא הבנתי.

 

[Fingertip]

המממממ....

עכשיו כן הבנתי. מעניין. אהד.

 

[bralon1]

אתה צודק בקשר לפחות או יותר

יש גם את מספר פייגנבאום ועוד כמה דברים ממתמטיקה פרקטלית. ד"א, יש לי שאלה לאלו שבגילי (16~17) ואשר סיימו כבר ממזמן בגרות במתמטיקה ולומדים עכשיו לתואר, האם בקורס שלכם באוניברסיטה הפתוחה אתם תלמדו את הנושא: מתמטיקה פרקטלית?

 

[Fingertip]

אין כזה קורס...

למרות שבתואר שני במדעי המחשב יש סמינר של "דחיסת תמונה באמצעות פרקטלים" אבל אני לא משער שזה קשור. בכל מקרה, אני חושב שאלי לוין (ראש החטיבה למתמטיקה) יכול לארגן קורס קריאה מונחית בנושא (אם יש לך את הידע המוקדם הדרוש). אהד.

 

[איגור קרסיק]

....

הסתכלתי גם בקורסים של אוניברסטאות אחרות וגם שם לא ראיתי קורס שמזכיר לי את התחום שציינת? אגב, לא כל אלה שעושים תואר עשו כבר את הבגרות במתמטיקה! אני עדיין לא עשיתי...

 

[Fingertip]

אני עשיתי...

לפני בערך שלושה חודשים את מועד ב וקיבלתי 74 ב-2 יחידות נו טוב... לפחות קיבלתי ציון טוב יותר במועד א וב-3 הראשונות קיבלתי ציון מצויין. (הוכחתי את השאלה של אינדוקציה בלי אינדוקציה! (דרך אחרת...) לפחות את הזכרון המתוק הזה יהיה לי מהבגרות במתמטיקה... אהד.

 

[bralon1]

אתה יודע משהוא אצבע...

המורה שלי למחשבים אמרה משפט שמתאים לכאן: "אילו שיודעים מצויין את החומר, בבגרות מקבלים ציון נמוך בהשוואה לאלה שיודעים פחות טוב ומקבלים ציון יותר גבוה". הציון במבחנים האלה בדר"כ לא מראים אם אתה מבין את החומר, אלא אם אתה יודע להקיא את מה שהמורה אמר/ה לכם בזמן השיעורים (אבל הבנה של החומר, היא כמעט בלתי אפשרית כי כמו שציינתי בעבר מה שמעניין את מערכת החינוך, הבית ספר וכך גם התלמידים [למרות שאינני בטוח מה בא קודם, אי הרצון של המורים לגרום לתלמידים להבין את החומר, או אי הרצון של התלמידים "באמת" להבין את החומר מאשר פשוט לענות לבעיות כמותיות פשוטות]).

 

[emissary]

אני חולק על דעתך

אני קיבלתי בחלק א´ 95 ובחלק ב´ 97, בתוכנית החדשה, השנה אני בכיתה יא עכשיו אבל את הבגרות עשיתי בכיתה י. ואני חייב להגיד שבשביל לקבל ציון גבוהה אתה חייב לדעת את החומר, מתמטיקה בבגרות זה לא כמו היסטוריה שצריך רק לזכור בעל פה, אלא ממש צריך להבין. אבל גם טוב לרקאות לפני הבגררות פונקציה מאוד מאוד דומה לפונקציה שהייתה שם. פונקציה עם שהגבול שלה באינסוף ובמינוס אינוסף שונה, ואת זה בדר"כ לא מלמדים בתיכון.

 

[bralon1]

....

זה באמת טוב שיש כאן כאלה שעשו כבר בגרות בשביל לשאול אותם שאלות: האם זה נכון שבמבחני הבגרות מקבלים נוסחאון כך שלא צריכים לזכור בעל פה את הנוסחאות? (או שאני טועה, וכן צריך לזכור את הנוסחאות בע"פ). האם במבחן הבגרות שעשית, האם היו הוכחות/שאלות לא כמותיות, ואם כן כמה אחוזים הם היוו מכל המבחן? נ.ב הביקורת שלי מיוחסת למורי תיכון מכיוון שאני עדיין לומד בתיכון.

 

[איגור קרסיק]

תשובות

אכן יש נוסחאון. שאלות לא כמותיות הן די נדירות. אגב, אני יודע זאת כי עשיתי 3 מתוך החמש [השנה אעשה את השניים הנותרות].

 

[josef007]

מה??????????????????????

אתה עדיין לא עשית את הבגרות שלך במתמתיקה אז לשם כל הרוחות אתה לומד לתואר ראשון???

 

[emissary]

תשובות

יש נוסחאון אבל לא נמצאים שם כל הנוסחאות. אפשר למצוא את הנוסחאון באינטרנט ובכל מיני ספרים שמכילים מבחני בגרות, תחפש בגוגל דף נוסחאות ובגרות.שאלות לא כמותיות אתה מתכוון פרמטרים, אז יכול לאוד להיות שיהיוף אבל אצלי אני לא זוכר שהיו.

 

[bralon1]

join the club

גם אני עדיין לא עשיתי (אבל מצד שני אני לא לומד במקביל גם באוניברסיטה) בגרות. בקשר לנושא שדיברתי, יכול להיות שהנושא מופיע בשם אחר: גיאומטריה פרקטלית ואולי גם בשם מערכות כאוטיות. ד"א, אם אתם מתעניינים אני ממליץ לכם לקרוא את הספר הפופולארי של ג´יימס גליק בנושא כאוס (רוב הספר הוא יותר בנושא המדעי מאשר המתמטי), וגם כדאי לקרוא את המאמר של יואב בן-דב בנושא (גם הוא פופולארי).