סכום של טור

[white shadow 3]

סכום של טור

הי, בוקר טוב.
עברו כמה שנים טובות מאז חדו"א שלי ונתקעתי בחישוב מסויים.
איך ניתן לחשב את הסכום של
zz x/(3^x) zz
כאשר x בין 1 לאינסוף?

תודה

 

[עריסטו]

יש כמה דרכים, הנה אחת

S = 1/3^1 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + n/3^n
3S = 1/3^0 + 2/3^1 + 3/3^2 + ... + n/3^(n-1)
3S - S = 1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + ... 1/3^(n-1) - n/3^n
2S = (1 - (1/3)^n)/(2/3) - n/3^n
S = (3/4)(1 - (1/3)^n) - (1/2)(n/3^n)
lim (n->inf) S = 3/4

 

[white shadow 3]

תודה!