סדרות

[roi12555]

סדרות

שאלה שלא הצלחתי להבין ..
יהיו A n ו B n סדרות כך שמתקיים 0 = (lim(A n*B n
הוכיחו או הפריכו :
א. אם כמעט כל איברי B n חיוביים, אז (A n) אינו שואף לאינסוף .
ב. אם כמעט כל איברי B n חיוביים, אז lim( A n) = 0

אם אני רוצה להפריך אז אני צריך לתת דוגמא נגדית לסדרות, אם הסדרות יהיו מתכנסות אז מותר לי להשתמש באריתמטיקה של גבולות ?
ובסעיף ב בכלל לא הצלחתי להבין מה רוצים .. .

תודה לעוזרים !

 

[dvekl]

מותר להשתמש

באריתמטיקה של גבולות אם הן מתכנסות. באשר לסעיף ב', תסביר מה לא מובן.. הטענה שם מאוד ברורה. אם הצלחת להבין את א' אז איך אתה לא מבין את ב'? מעבר לזה צריך לפתור את הממ"ן באופן עצמאי (גם אני לומד אינפי).

 

[roi12555]

זה מה שעשיתי ב א'

לקחתי את כדוגמא נגדית את B n = 1/n משום שהיא אפסה אבל היא חיובית
וטענתי כי A n שואפת לאינסוף .
האם זה דוגמא מספקת לכך שהסדרה An Bn גם אפסה ?
אני לא יודע אם אפשר לומר ש An מתכנסת , משום שהיא מתכנסת במובן הרחב ולא לגבול מסוים ..
מקווה שתצליח להבין אותי כמו שאני מבין את עצמי.

ובאשר לסעיף ב.
זה די היה נראה לי כאילו זה באמת אותה ההוכחה בשלילה. להשתמש באותם הסדרות .
ואז An לא חייבת לשאוף ל0 אבל אז B n שואפת ל 0 , אז מה זה משנה אם זה A או B ?
מה שגרם לי לחשוב כי דווקא הסעיף הזה נכון ולא מופרך.

תודה לעוזרים !

 

[אורי769]

לא הבנתי את הדוגמא שלך

הדוגמא הנגדית שלך צריכה להיות גם ל-An וגם ל-Bn. כלומר אם אתה טוען שזה לא נכון, אתה צריך למצוא Bn חיובית, An השואפת לאינסוף כך ש-AnBn שואפת ל-0.

 

[roi12555]

אז בחרתי Bn =1/sqrt n ו An =n

ונראה לי שזה נכון .

אבל בסעיף ב' אני לא יודע אם אני יכול לבחור את אותה הדוגמא . כך ש Bn = sqrt n ו An = n
כי זה עדיין שואף ל0 אבל במקום שAn לא שואף ל0 אז Bn שואף ל0 .

 

[אורי769]

בא נראה

An = n
(Bn = 1/sqrt(n
ולכן
(An*Bn = sqrt(n
אכן איברי Bn חיוביים ואכן An שואף לאינסוף. אבל... לעניות דעתי
lim An*Bn = inf
אז זאת לא דוגמא טובה

 

[קולומין]

תבחר

Bn = 1/n^2 ו An = n
אז An*Bn = 1/n אבל שתי הטענות אינן מתקיימות.
&nbsp