נקודה במישור...

[mike0brv]

נקודה במישור...

המ.... התעניינתי בקטע של צירים שהם לא מאונכים אחד לשני ... והחלטתי להתחיל לחקור קצת ( טוב ... כמה שאני יכול לנסות ) וכבר על השניה הראשונה נתקלתי בבעיה: ההגדרה של הנקודה במישור , במערכת צירים מאונכת , אין בעיה בכלל.... ערך האיקס וערך הוואי של נקודה הוא בדיוק כמו שבצירים , פשוט מעבירים אנכים מהצירים בערכים הנתונים , ומפגש האנשים יהיה הנקודה... ולפי ההגדרה הזאת , האם היא עדיין קיימת ושרירה במערכת צירים לא מאונכת ... אשמח מאוד מאוד מאוד אם תראו לי דוגמא של נקודה במישור בעל צירים לא מאונכים , למשל , הנקודה : (3,4) במערכת צירים שהזווית בין ציר האיקס ( הכיוון החיובי שלו) וציר הוואי הוא 45 מעלות .... תודה תודה תודה תודה תודה מראש , מייקי !

 

[איגור קרסיק]

תשובה

ההגדרה ששלך היא תקפה רק למקרה הנחמד שהצירים מאונכים.... ויש הגדרה כללית יותר. נניח ויש לנו מערכת צירים x ו-y (שנחתכים בזווית מסוימת שאיננה אפס!). הנקודה (a,b) במערכת הצירים x-y תתקבל בצורה הבאה: נעביר מקביל לציר ה-y דרך a שעל ציר ה-x וכן נעביר מקביל לציר ה-x דרך הנקודה b שעל ציר ה-y. נקודת המפגש של שני הקוים הנ"ל תהיה הנקודה (a,b).

 

[איגור קרסיק]

חבל... הקדימו אותי...

 

[mike0brv]

תודה ! ועוד שאלה....

אוקי... זה עזר לי המון !!!)))))) אבל.... עכשיו סקרן אותי , אם למשל ציר ה וואי הוא בכלל לא קו ישר אלא פונקציה , נניח הגרף של :y=x^2 וחילקנו את הגרף לחלקים שווים בקנה מידה של כמו ציר ה איקס... עכשיו אנחנו רוצים לסרטט גרף של פונקציה במערכת הצירים הזאת ... בשביל לאתר מיקום גרפי של נקודה לפי מה שהבנתי , צריך : ( אני אדגים על הנקודה 2,3 נניח) : 1) למצוא משיק לפונקציה שמייצגת את ציר הוואי בנקודה שבה אורך הפונקציה החל מראשית הצירים הוא 3 . ( כלאמר ערך הוואי) 2) להעביר ישר מקביל לאותו משיק שמצאנו בסעיף הקודם שעובר דרך ערך האיקס שהוא 3 כלאמר הנקודה : 3,0 3) להעביר ישר מקביל לציר האיקס דרך אותה נקודה שבה אורך הפונקציה החל מראשית הצירים הוא 3.(ערך הוואי) 4) נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בסעיך 2 ו 3 תהיה הנקודה שערכיה הן :2,3 המ.... זה נכון ? או שאני אומר דברי הבל ???

 

[איגור קרסיק]

תשובה

אני לא מכיר מערכות צירים שבנויות ככה, אז אני לא יודע אם יש הגדרה דומה לזו. מה שכן מן הסתם הפונקציות שניתן לבנות בעזרתן מערכת צירים כפי שאתה הגדרת הן לא כל הפונקציות שמוגדרות ב-R [בלשון המעטה].

 

[חתול בשק]

יש מערכות

לא קרטזיות (רגילות ) למשל (r,t) אורך (r) וזוית (t) בהן הצירים ניראים ככה: הציר האדום בציור הוא ציר R והוא גדל החוצה מהמרכז. העיגולים השחורים הם ציר T. T=0 מימין למרכז ("ראשית הצירים") והוא גדל נגד כיוון השעון. לדוגמה: יוסי יושב בנק´ X=1 ו Y=1 . אתה בוודאי שואל את עצמך "ובמערכת החדשה, איפה הוא יושב???" בוא ניבדוק! R הוא המרחק מהראשית, r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2 T היא הזוית מ"ציר הX" כלומר 45 מעלות. למה זה טוב?? ובקשר לשאלה הספציפית שלך: כן אתה יכול לבחור מע´ צירים כזאת. למה? כי הצירים שלך "לא תלויים" כלומר אתה לא יכול לבטא ציר אחד כפונקציה של השני. תרגום לעברית: X:Y זה זוג כשר למע´ צירים כי אתה לא יכול לחבר X לקבל Y x+yx+y)^2 זוג לא כשר! כי הציר השמאלי בריבוע יתן את הציר הימני x+y:x-y זוג כשר. (בעצם זאת מערכת "מסובבת" ב45 מעלות. יש עוד הרבה. אבל אני צריך ללכת לישון. מבחן בקוונטים. אתה יודע.

 

[איגור קרסיק]

.......

וואלה! אז בעצם אני כן מכיר. "מבחן בקוונטים" פיזיקאי בפורום. כמה נחמד.

 

[חתול בשק]

יש מערכות

לא קרטזיות (רגילות ) למשל (r,t) אורך (r) וזוית (t) בהן הצירים ניראים ככה: הציר האדום בציור הוא ציר R והוא גדל החוצה מהמרכז. העיגולים השחורים הם ציר T. T=0 מימין למרכז ("ראשית הצירים") והוא גדל נגד כיוון השעון. לדוגמה: יוסי יושב בנק´ X=1 ו Y=1 . אתה בוודאי שואל את עצמך "ובמערכת החדשה, איפה הוא יושב???" בוא ניבדוק! R הוא המרחק מהראשית, r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2 T היא הזוית מ"ציר הX" כלומר 45 מעלות. למה זה טוב?? ובקשר לשאלה הספציפית שלך: כן אתה יכול לבחור מע´ צירים כזאת. למה? כי הצירים שלך "לא תלויים" כלומר אתה לא יכול לבטא ציר אחד כפונקציה של השני. תרגום לעברית: X:Y זה זוג כשר למע´ צירים כי אתה לא יכול לחבר X לקבל Y x+yx+y)^2 זוג לא כשר! כי הציר השמאלי בריבוע יתן את הציר הימני x+y:x-y זוג כשר. (בעצם זאת מערכת "מסובבת" ב45 מעלות. יש עוד הרבה. אבל אני צריך ללכת לישון. מבחן בקוונטים. אתה יודע.

 

[mike0brv]

המ... תודה אבל....

אופ ... אני לא מצליח כנראה להסביר את עצמי ... אני מכיר את המישור של גאוס של t ו r ... עכשיו ... אני מועוניין במערכות שבהן הצירים הם לא בהכרח קווים ישרים ... אז... המצאתי מצב היפוטתי שבו ציר ה וואי מיוצג על ידי המשוואה y="x^2 וחילקתי את ציר הגרף לחלקים שווים לפי קנה המידה של ציר האיקס... ועכשיו , לפי ההגדרה שהבאתם לי של נקודה במישור ... צריך בשביל למצוא את הנקודה :1,1 למשל ... להעביר דרך הפונקציה שמייצגת את ציר ה y מקביל לציר ה איקס בנקודה 1 שעליה ...(ראו סירטוט) ואח"כ צריך להעביר דרך הנקודה 1 שעל ציר ה איקס מקביל לציר הוואי , אבל משום שציר הוואי הוא לא לינארי , צריך למצוא את המשיק לציר הוואי בנקודה 1 , אחרי שמוצאים אותו , מעבירים ישר מקביל בעל אותו שיפוע דרך נקודה 1 שעל ציר האיקס , ונקודת החיתוך של שירים הללו היא היא הנקודה 1,1 במישור החדש הזה ... אני רק רוצה שתגידו לי אם מה שאני מניח זה נכון , או שזה לגמרי שטויות ? אולי תסבירו לי גם למה אני טועה... בתודה תודה תודה , הנאיבי.

 

[voguemaster]

אני חושב שזה לא נכון

ההסבר די פשוט בעיניי: אם אתה מגדיר מע´ קואו´ כזו: U=X V=X^2 שים לב שטרנספורמציה בחזרה למערכת המקורית, לפחות עבור ציר ה-Y היא השורש של V. זה אומר שהנקודה 2,2 במישור שלך נמצאת ב-2,1.414213562 (כמובן ששורש 2 הוא אי רציונלי ולכן לא נגמר אף פעם אבל לקחתי קירוב טוב

). אם תנסה לפי השיטה שלך, אפילו מבדיקה כמותית תראה שהתוצאה לא נכונה. ואם אתה רוצה הוכחה אנליטית, חשב את החיתוך של הישרים. הרי העברת משיק לפרבולה, אתה מסוגל למצוא את משוואת הקו המקביל לו. אתה גם יודע את משוואת הקו המקביל לציר ה-X (דאאהה..

) ויש לך שתי מערכות בשני נעלמים. הקו המקביל למשיק יצא לי Y=4X-4 הקו המקביל לציר ה-X הוא כמובן Y=2 החיתוך הוא ב-X=2.5 מה שלא מסתדר כ"כ טוב. אלי נ.ב. עבר קצת זמן מאז שנגעתי בגיאומטריה אנליטית

 

[voguemaster]

אופס תיקון

הקו המשיק הוא Y=4X-4 הקו המקביל לו הוא Y=4X-8 סליחה