מתמטיקאי חובבן

[mike0brv]

מתמטיקאי חובבן

אני מתמטיקאי חובבן בתיכון , אני אפילו לא מתמטיקאי , אני רוצה להיות... התחלתי לקרוא קצת על חשבון דירנציאלי ואינטרגרלי , וראיתי שניתן למצוא את אורך הקטע של פוקנציה מסויימת ע"י אינטגרלים , לדוגמא האורך של y=x^2 בין 6 ל 9 הייתי נורא שמח אם תוכל להראות לי איך מוצאים את הנוסחא באמצעות אינטגרלים או כל דרך אחרת . כמו כן , עד לפני כמה זמן סברתי שאינטגרל זה פשוט השטח שבין פונקציה לפונקציה אחרת ... אבל עכשיו מסתבר שזה בכלל לא כך , אז אשמח לקבל הגדרה של אינטרגל ומה השימושים שלו (חוץ מזה שהוא הפעולה ההפוכה לגזירה). תודה תודה תודה מראש ! נ.ב: באומרי אורך קטע של פוקנציה אני לא מתכוון למרחק בין שתי נקודות במרחב (d^2=(x2-x1)^2-(y2-y1)^2) שוב : תודה תודה תודה מראש !

 

[איגור קרסיק]

תראה

אני יכול לתת לך הגדרה של אינטגרל, אבל אני צריך לכתוב די הרבה, שכן יש מספר מושגים שאתה צריך לדעת לפני... אולי מחר אני אעשה זאת [זה הרבה עבודה]. בקשר לאורך של קטע של גרף של פונקציה, אם הפונקציה מקיימת מספר תנאים בקטע [a,b] (הפונקציות שאתה מכיר ברובן מקימות את התנאים הללו) אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא האינטגרל מ-a עד b של שורש של (1 ועוד נגזרת הפונקציה). הסבר פורמלי לעובדה זו יהיה די ארוך. בכ"מ אני ממליץ לך ללמוד את הקורס אינפי 1 באוניברסיטה הפתוחה [אתה יכול ללמוד באוניברסיטה הפתוחה וגם בתיכון...].

 

[odedee]

חישוב אורך של עקומה

קצת קשה להסביר את חישוב האורך בלי להזדקק לכלים שלא נלמדים בתיכון, אבל אני אנסה. אינטגרל, קצת בדומה לנגזרת, הוא פשוט גבול - של סכום (טור) מסוים. המשמעות שלו תלויה בשימוש. כפי שאמרת, הוא יכול לתת את השטח מתחת לפונקציה, אבל גם דברים אחרים - הכל תלוי בשימוש. כדי לחשב את אורך העקומה, חייבים להשתמש בכלים של חשבון אינפיניטסימלי (אינפי). מסתכלים על חלק זעיר של העקומה, מספיק זעיר כך שהיא נראית בו כמו קטע ישר. - בדומה למה שעושים כשמגדירים נגזרת. נסתכל על שתי נקודות בעלות x דומה. יהיה להן גם y דומה. נסמן את ההפרשים בין הקואורדינטות שלהן ב-dx ו-dy. אם נצייר את העקומה, ברור ש dl^2=dx^2+dy^2 לפי משפט פיתגורס. כאן dl הוא אורך העקומה, בין הנקודות המאד קרובות שבחרנו. בעצם אנו מגדירים פה פונקציה חדשה l, שהיא אורך העקומה שיוצרת הפונקציה המקורית y. כעת ברצוננו למצוא את האורך בקטע ארוך ולא אינפיניטסימלי. נחלק את הביטוי ל-dl^2 ב-dx^2 ונקבל 2^(dl/dx)^2=1+(dy/dx) dl/dx היא בעצם הנגזרת (או השינוי) באורך העקומה כאשר x משתנה. כדי למצוא את האורך הכולל של העקומה לאורך קטע סופי, עלינו לבצע אינטגרציה על dl/dx, כלומר על השורש של הביטוי למעלה. לכן ((L=integral(sqrt(1+(y´)^2 בגלל שהמבנה פה הוא אינטגרל של שורש של (ריבוע הנגזרת + 1) הוא במקרים רבים קשה לחישוב אפילו עבור פונקציות פשוטות. נסה למשל למצוא את האורך של הפרבולה y=x^2 בקטע מסוים. תופתע איזה דברים יוצאים שם

.

 

[איגור קרסיק]

......

למה הרבה אנשים משתמשים בהגדרת האינטגרל לפי רימן ולא לפי דארבו? כשלמדתי אינפי ההגדרה שהייתה בשימוש היא לפי דארבו (רימן נדחק לצד עד כדי כך שאני בקושי זוכר את הגדרת האינטגרל שלו...)..

 

[odedee]

Riemann VS. Darboux

שתי ההגדרות הן די דומות בסה"כ, ושקולות לגמרי כמעט תמיד. עבור רב הפונקציות שפוגשים במשוואות פיסיקליות נורמליות הגדרת רימן מתאימה יופי. אם אני זוכר נכון, ההבדל הוא שדרבו מגדיר את האינטגרל כגבול שהוא זהה עבור הסכום התחתון והסכום העליון של הפונקציה, בעוד שלפי רימן בוחרים נקודה כלשהי בכל קטע. נכון הוא שבאופן הסטורי רימן ודרבו עבדו על שיפור ההגדרה לאינטגרל באותה תקופה בערך, ויש חוסר צדק הסטורי מסוים בכך ששמו של דרבו נשכח למדי. היום מדברים על הגדרת דארבו כואריאנט מסוים של הגדרת רימן, ואולי לא בצדק. אגב, אינני יודע איפה למדת ומאיזה ספר, ככל הידוע לי בארץ מלמדים את הגדרת רימן ואפשר בהחלט לסיים תואר בלי לשמוע בכלל על דארבו.

 

[איגור קרסיק]

.......

"ההבדל הוא שדרבו מגדיר את האינטגרל כגבול שהוא זהה עבור הסכום התחתון והסכום העליון של הפונקציה" לא בדיוק. דארבו לא מדבר על גבולות, אלא על סופרמום ואינפימום [מושגים שבסופו של דבר מזכירים מאוד את הגבול]. אני למדתי באו"פ, שמה ההגדרה השולטת היא של דארבו ויש נספח שלא חייבים לדעת למבחן על הגדרת האינטגרל לפי רימן...

 

[Le Freak]

עוד חובבן

שלום, ברצוני לדעת האם אפשרי שתלמיד כיתה י´ ילמד באוניברסיטה הפתוחה (אני לא מאמין שנתקלתי במושג או בהגדרתו עד עכשיו "אוניברסיטה פתוחה).. ואם זה אפשרי איזה ידע צריך על מנת להתחיל קורס כלשהו?

 

[איגור קרסיק]

תשובה

אפשר. אני התחלתי בכיתה י ללמוד באו"פ. אין צורך בהרבה ידע [יש לך מספיק], שכן בקורסים הראשונים יש סקירה ממצה של הידע שתזדקק לו במהלך הקורס. אבל כדאי לדעת טריגו, אינדוקציה.

 

[mbrv]

WOW !!

איזה הוכחה מדהימה !!! אולי אני פשוט נאיבי בטירוף ועוד לא מבין כלום , אבל זה פשוט יפה !! וואו וואו וואו ! איך שזה מסתדר.... תודה תודה תודה @!!!! נ.ב : דיברתם על קורסים באוניברסיטה הפתוחה , אפשר אולי לקבל מספר טלפון ואולי עוד פרטים על מה שלומדים שם ?

 

[איגור קרסיק]

זו לא בדיוק הוכחה.

להלן קישור עם מספרי טלפון.

 

[alon14]

ההצבה שצריך לעשות ב-x^2...

...היא הצבה היפרבולית (x = cosh u).

 

[Fingertip]

אינטגרל - סקירה הסטורית.

אינטגרל הוא אינו ההפך מנגזרת. למעשה, הגדרת האינטגרל הרבה יותר קרובה ל"שטח בין פונקציה לצרי ה-x" מאשר ל"ההפך מנגזרת". סדר הדברים, לפחות עד כמה שאני הבנתי, הוא כדלהלן: תחילה (ראה הערה בסוף), רצו לחשב את השטח שבין פונקציה לבין ציר ה-x. אז הגדירו את האינטגרל המסויים. אינטגרל מסויים הוא /ערך/! הוכיחו גם שאם F היא פונקציה קדומה של f (כלומר, אם הנגזרת של F היא f) אז האינטגרל [המסויים] של f בין a ל-b הוא (F(b)-F(a. אח"כ, עשו מין משחק עם המשתנים והצליחו להגדיר פונקציה שמוגדרת באמצעות אינטגרל. אם יש לנו פונקציה (f(x, אז הגדירו:

x / |f(x)dx / a​

כאינטגרל הלא מסויים של פונקציה f. ואז הוכיחו את המשפט הבא: אם נסמן ב-F את הפונקציה שכעת הגדרנו (בעזרת אינטגרל) אז F היא פונקציה קדומה של f. כלומר, ע"י אינטגרל לא מסויים, "הגדרנו" פעולה שעושה ההפך מגזירה. העובדה הזו בצירוף עם העובדה שאם אנחנו יודעים מה פונקציה קדומה של פונקציה נתונה, אנחנו יכולים לחשב אינטגרלים, הובילו למציאת שיטות אינטגרציה. שיטות אינטגרציה הן דרכים [די כלליות] למציאת פונקציות קדומות. מכיוון שבעיית חישוב אינטגרלים היא, אם כן, בעיקרה מציאת פונקציות דומות, אנשים בד"כ מחליפים את "חישוב אינטגרל" ב"מציאת פונקציה קדומה" או "אינטגרציה". אל אין להתבלבל ולחשוב שזה אכן כך, אינטגרל הוגדר בתחילה כשטח שבין פונקציה לציר ה-x. הערה: עד כמה שאני מבין, זה לא בדיוק סדר הדברים ממש. ניוטון התחיל עם אינטגרלים כפולים ומשולשים לפני שהוא התחיל עם אינטגרלים "רגילים". אם אני לא טועה. (אין לי מושג איך הוא עשה את זה) אהד.

 

[yossibockchil]

כפי שאני יודע, וכמובן שאשמח לדעת יו

תר בנושא...האינטגל הוא השטח שבין 2 פונק´, ישנם אינסוף סוגי אינטגרלים (או שיש להם סוף פשוט אי אפשר ללמוד את כולם?...) והאינטגרל הוא למעשה הסכום של סידרה אינסופית מתכנסת כאשר האיברים הם מלבנים(כל איבר מיצג סכיום מלבן).... כך הבינותי לפני המון זמן כאשר שאלתי את המורה למתמטיקה בביה"ס שלמדתי...אם זה נכון? לא יודע נשמע די הגיוני...

 

[Fingertip]

כמעט...

אפשר לומר שאינטגרל הוא סדרה אינסופית של סכומים סופיים של מלבנים. אבל זה ניסוח די מרושל. באמת עדיף שתלמד קצת יותר על תורת הגבולות ותקרא את ההגדרה ממש. אהד.

 

[yossibockchil]

למעשה

אני מאמין שכך יהיה, כי אני מעוניין ללמוד מתמטיקה באוניב´.