משפט סטוקס

[spet88]

משפט סטוקס

שלום חברים, אני לומד חדוו"א 2, ונוצר לי בלבול קצר בין משפט סטוקס לגאוס. אני יודע כי גאוס מקשר בין אינטגרל משטחי לבין אינטגרל משולש, וסטוקס מקשר בין אינטגרל משטחי לאינטגרל קווי.

אתמקד בשאלה ספציפית יותר, ואז אולי אסביר את עצמי טוב יותר:
נתון שדה
X^2 + Y^2 + Z^2
, חשב את השטף דרך X^2 + Y^2 = Z^2 , 0<Z<1

הדרך בה פתרתי את התרגיל היא סגירת המשטח (חרוט) ע"י Z=1. חישוב השטף דרך החרוט (מתקבל פאי/2).
עכשיו, מכיוון שביקשו ממני לחשב את השטף על החרוט אני מחסר את השטף על המשטח, כאן, השתמשתי בסטוקס. ומכיוון שהROT שלילי, יוצא שפאי/2 היא התשובה.
(התשובה הנכונה היא בכלל מינוס פאי/2). מה לא עשיתי כאן בסדר?
האם סטוקס לא מחשב את השטף דרך אינטגרל קווי?

תודה, ספט

 

[חזי נוימן]

מה השדה הוקטורי ? לא רשמת אותו.

 

[spet88]

קצת התבלגן ארשום מחדש:

השדה:
X^2+Y^2+Z^2

השטף:
X^2+Y^2=Z^2
כאשר Z בין 0 ל 1

 

[1ca1]

זה לא שדה וקטורי

ולכן אין לו שטף.

בכל אופן,
נכון שאצל פיזיקאים תמיד השטף עובר דרך משטח סגור (אני מעריך שמשם זה מגיע, קורס חדו"א והכל), אבל אצל מתמטיקאים לא בהכרח. יש גם משמעות פיזיקלית לשטף שמראה שזה הגיוני לחשב אותו רק על דברים סגורים פחות או יותר (ממשוואות מקסוול).

בכל אופן, מבחינה מתמטית, סטוקס הוא "האבא" של כל המשפטים בניסוח המתאיםם, אבל כדי לא לחפור יותר מדי, נסכם את זה כך, במובן שלכל סיטואציה יש רק משפט אחד שיכול להתאים (פרט לחישוב ישיר כמובן):

גרין - עובד רק במישורים, אז אין טעם בכלל לדבר עליו במרחב.
גאוס - כאשר מדובר באינטגרל משטחי על גוף סגור! (זה קריטי כאן).
סטוקס - כאשר מדובר על אינטגרל משטחי בגוף עם שפה (במקרה של גוף סגור, סטוקס לא יגיד הרבה, הוא יגיד שהרוטור נותן לך שדה חסר עירבוליות).

אבל אני מעדיף לחשוב על סטוקס כעל מעבר בין אינטגרל מסילתי לאינטגרל משטחי, ולא ההפך (כלומר אתה דווקא "עולה מימד" מבחינת השטח עליו אתה עושה אינטגרציה, ויש לזה הסבר מתמטי מצויין למה זה).

גם את גאוס צריך לראות כמעבר בין אינטגרל משטחי לאינטגרל משולש, כלומר אתה עולה מימד גם כן.


אצלך הגוף פתוח, ולכן יש שתי אפשרויות להמשיך -
1. לסגור ולהשתמש בגאוס כמו שעשית.
2. להשתמש בסטוקס.
3. כמובן אפשר לנסות לחשב ישירות את השטף, זה משטח יפה סה"כ עם פרמטריזציה טבעית.

הבעיה היא שקשה מאוד להשתמש בסטוקס במעבר בין אינטגרל משטחי לאינטגרל מסילתי (בניגוד לכיוון ממסילתי למשטחי), בגלל שבהניתן רוטור, קשה מאוד לשחזר את השדה המקורי שלו (מה שפיזיקאים קוראים - פוטנציאל מגנטי או פוטנציאל וקטורי).

ולכן הדרך המועדפת כנראה תהיה גאוס כמו שעשית.
נשאר לך לחסר את שטח הבסיס שהוספת!
עכשיו נשארת לך הבעיה של חישוב השטף על הבסיס.
שוב פעם, אתה במקרה של חישוב שטף על גוף פתוח.
אין לך כבר איזשהי אפשרות להשתמש בגאוס כי לא תסגור את זה שוב הרי.
אז נשארת עם סטוקס ועם חישוב ישיר.
מאחר שכפי שאמרתי, המעבר משטחי -> מסילתי בסטוקס לרוב קשה לביצוע (ובנוסף, בגלל שהמשטח שלך הוא מישור, חישוב הנורמל פשוט והאינטגרל המשטחי יוצא פשוט), עדיף לחשב את זה ישירות לפי הנוסחא, וזה מה שיקרה לרוב.


מה שאמרת הוא בעצם - נעביר את השטף במקום החרוט לבסיס (דרך משפט גאוס), ואז ננסה לחשב את השטף בבסיס דרך סטוקס, אז בעצם יכולת לוותר על הכל וללכת ישר עם חישוב של סטוקס מהחרוט לשפה שלו.
הבעיה היא כמו שאמרתי, צריך להסתכל בנוסחא של סטוקס, זה לא מיידי למצוא על איזה שדה אתה צריך לעשות אינטגרל מסילתי (הפוטנציאל המגנטי הזה) ולכן לרוב אין מנוס בתרגילים הללו מחישוב ישיר של השטף דרך הבסיס.


טוב אחרי שנגמרה החפירה - יש סיכוי לא קטן שהתבלבלת בכיוונים בחישובים שלך, ולכן התהפך לך הפלוס והמינוס, אבל יש גם סיכוי שזה יצא במקרה והחישוב לא נכון.

 

[spet88]

התשובה הנכונה ...

אוקיי, בדקתי את זה עם חבר, התשובה הנכונה היא אכן מינוס פאי/2. כאשר פאי/2 נובע מהגאוס על כל המשטח, פחות פאי, שזה נובע מחישוב אינטגרל ישיר על מעגל היחידה (כמו שאמרת!).

תודה על החפירה באמת סידר לי כמה דברים קטנים בראש, מה שכן. עדיין סטוקס לא ברור לי כל כך, למה המעבר משטחי מסילתי קשה לביצוע? כלומר, מתי אז, כן אשתמש בו? ובמידה ואני עושה ROT על איזשהו מסילה (בוא נאמר מעגל יחידה), איך הנוסחה "יודעת" אם זה גליל, חרוט, או אפילו חצי כדור?

 

[1ca1]

כי הוא קשה

סטוקס אומר ש-
zz SFdl = SS rot(F) dM zz

עכשיו ברוב המקרים, נתון לך הגוף (ולכן גם השפה שעליה תעשה את האינטגרל dl), והשדה F, ואז לעבור ל-rot(F), זה פשוט חישוב.

עכשיו מהצד השני, נניח נתון לך rot(F), כיצד אתה יכול לקבל את השדה המקורי?
זה עניין של חישובים לא סימפטיים ולא תמיד הם מסתדרים.

זה דבר דומה לגאוס, אם נתון שדה וגוף, הגוף כולא נפח ולקבל משדה את הדיברגנץ זה חישוב ישיר, הכיוון השני פחות או יותר בלתי אפשרי, איך מדיברגנץ תוכל לשחזר את השדה?

הרוטור שאתה עושה, אתה עושה על שדה, ולא על מסילה, והרוטור על שדה מוציא לך שדה אחר שמהווה (פלוס-מינוס) את העירבוליות של השדה המקורי.

כמו שאמרתי, מרבית המעברים של סטוקס הם ממסילתי למשטחי, למרות שלעיתים משתמשים גם בכיוון השני (רמז שמעיד על כך - נותנים שדה וגוף והכל, ואז מבקשים לחשב אינטגרל משטחי של rot(F) או משהו כזה).
דבר דומה זה בגאוס, ייתנו לך גוף נחמד כלשהו ושדה F ויבקשו לחשב את SSSdivF dxdydz, זה משהו שמעיד שצריך אולי להשתמש בגאוס ולא בחישוב ישיר, אבל מרבית המעברים בגאוס יהיו ממשטחי לאינטגרל משולש.