משהו קטן.

[איגור קרסיק]

משהו קטן.

יש לי שאלה קטנה שממש אין לי זמן לחשוב אליה [ביום שלישי הקרוב 3/9/02 יש לי מבחן בלינארית 2....] אז אני אבקש מכם לנסות ולפתור אותה [הפעם לא דרוש ידע אקדמי!]: יהיו z1 z2 z3 z4 ארבעה מספרים מורכבים שהערך המוחלט של כל אחד מהם הוא 1. כמו כן, סכומם שווה לאפס. להוכיח ש:

(z1)*(z2)*(z3)+(z1)*(z2)*(z4)+(z1)*(z3)*(z4)+(z2)*(z3)*(z4)=0​

יש סיכוי [לא ממש גדול] שיש נתון מיותר...

 

[Halfbaked]

בקצרה

נשים לב לשתי תכונות של המספרים המרוכבים: 1. אם הערך המוחלט של z הוא 1, אז ההופכי של z הוא הצמוד של z. 2. אם נסמן את הצמוד של z ב-[z], אז לכל n מספרים מרוכבים z1,...,zn

[z1]+[z2]+...+[zn] = [z1+...+zn]​

תכונות אלו פשוטות להוכחה, ואשאיר זאת כשעורי בית

משתי תכונות אלה נובע שאם z1,...,zn הם n מספרים מרוכבים שערכם המוחלט 1 וסכומם אפס, אז

1/z1 + ... + 1/zn = [z1] + ... + [zn] = [z1 + ... + zn] = [0] = 0​

נכפיל ב-z1*z2*...*zn ונקבל

z2*z3*..*zn + z1*z3*...*zn + z1*z2*z4*...*zn + ... + z1*z2*...*z(n-1) = 0​

והטענה המקורית היא מקרה פרטי של תוצאה זו, כאשר n=4.