משהו לא בסדר...

[הנשר הנובח]

התגובה שלך ../images/Emo107.gif

שייכת להודעה של אהד, ובטעות שמת אותה כאן...

מכל מקום עניתי לכם למעלה.

 

[MTKOL]

משהו לא בסדר...

שלום לחברי הפורום, לפני זמן יחסית קצר, התחלנו בשעה טובה ללמוד וקטורים, (אני בכיתה י"ב, ב-5 יח"ל במתמטיקה), למרות שכבר למדנו שנה קודם לכן את הנושא הזה (אני גם בפיסיקה 5 יח"ל), נתקלתי בקשיים בשיעורי הבית שנתן המורה שלי למתמטיקה...(למרות שאני מבין יחסית טוב את החומר, אך יכול ליהיות שלא שמתי לב למשהו, או התבלבלתי במשהו) לקחתי את אחד התרגילים משיעורי הבית, זה לקוח מהספר של יואל גבע, כרך ד´, עמוד 32, שאלה 34, ושוב כמו שאני מדגיש, זו שאלה מההתחלות - לא מבין במה טעיתי, אולי מישהו יוכל לעזור: נתון: וקטור U מאונך לוקטור - 2U + V, כמו כן נתון ש ערך מוחלט של U שווה לשורש 3, וגם שערך מוחלט של הביטוי 2U + V, שווה ל-2. מבקשים לחשב את הזוית בין הוקטורים - U ו- V. אז עשיתי: U * (2U + V) = 0 מכאן רשמתי ש- 2U = -V 4U^2=V^2 V^2=12 לאחר מכן, 2 = |2U + V| ומכאן שאם נעלה את כל המשוואה בריבוע: 4U^2 +4UV + V^2 = 4 נפשט ונקבל: UV = - 5 ולבסוף: UV = |U| *

* COSA נציב, נפשט ונקבל: COSA = -5/6 ומכן ש- A = 146.4426 אבל התשובה בספר היא ש- A=150 מה הטעות? *הערה - איפה שלא רשמתי ערך מוחלט של U, V, הכוונה לוקטור, ולא לגודל של הוקטור.

 

[MTKOL]

תיקון קטן...

בחלק האחרון, איפה שכתוב "לבסוף", מוצגת מכפלה סקלרית, והפורום מציג חלק מהמכלה שם כסימן וי (ציור), הכוונה לגודל של וקטור V.

 

[Fingertip]

אפשר יותר קצר, וגם יש לך טעות...

מתקיים:

U*(2U+V)=0 => 2U*U + U*V = 0 => U*V=-2U*U​

מכיוון שהערך המוחלט של U הוא שורש 3, הרי ש- U*U=3 ולכן נקבל ש:

U*V=-2*3=-6​

כעת, נותר לחשב את האורך של V. הנתון שלא השתמשנו בו הוא הנתון עם הערך מוחלט, ואכן:

|2U+V|=2 => 4U*U + 4UV + V*V = 4 => V*V = 4 - 4U*U - 4U*V => =>V*V=4-4*3-4*(-6) = 4 - 12 + 24 = 16​

כלומר, V*V=16 ולכן

=4​

לבסוף, נקבל שאם הזוית בין הוקטורים היא x הרי ש:

cosx = |u*v|/(|u

v|) = -6/sqrt(3)*4=-sqrt(3)/2​

ולכן:

x=5pi/6​

מכיוון שבוחרים את הזוית החדה, הרי שהזוית היא שישית פאי, או 30 מעלות. מקווה שעזרתי. אהד. נ.ב. הטעות שלך קרתה ממש בהתחלה, כשפתחת את הסוגרים של U*(2U+v)=0.

 

[Fingertip]

אופס! גם לי יש טעות!

 

[Fingertip]

אופס! אין לי טעות...

אני פשוט עייף... בכל מקרה, הזוית היא 150 (מוזר לי שהם דווקא בחרו את הזוית הגדולה. אם אני לא טועה, זה מוגדר כזוית החדה) אהד.

 

[MTKOL]

תודה, אבל...

למה בספר מופיע התשובה 150 מעלות ולא התשובה שנובעת מהפתרון שלך - 30 מעלות?

 

[הנשר הנובח]

לאהד ול MTKOL ../images/Emo107.gif

אהד, אתה התבלבלת בין שני דברים שונים : זוית בין ישרים, וזוית בין ווקטורים. כאשר שואלים על זוית בין ישרים , זה באמת מוגדר בתור הזוית החדה. כאשר שואלים על זוית בין ווקטורים , הזווית עשויה להיות חדה או קהה, תלוי בכיוונים שלהם... אז איך יודעים ? מציבים בנוסחה. במונה של הנוסחה כתוב : המכפלה הסקלרית u·v . אם המכפלה יוצאת חיובית - השבר כולו יוצא חיובי, וכשהקוסינוס חיובי כידוע הזוית חדה. אם היא יוצאת שלילית - השבר כולו יוצא שלילי, וכשהקוסינוס שלילי כידוע הזוית קהה. בתרגיל שלנו המונה הוא מינוס 6 , מה שמסביר למה הזוית קהה.

 

[Fingertip]

אני חולק...

למעשה, עד כמה שאני מבין, הזוית בין שני וקטורים אינה מקיימת:

cosx = u*v/|u|* | v|​

אלא:

cosx = |u*v|/|u|* | v|​

בדיוק מהסיבה הזו, שכן אם "נסובב" את הוקטורים שלנו באותה זוית, הזוית שביניהם לא אמורה להשתנות, אבל זה כן קורה בהגדרה הראשונה. (נסה, למשל, לסובב את (1,0), (1,1) ב-pi/2 רדיאנים) שים לב שבהגדרה הזו x יכול להיות זוית קהה או חדה, ולכן תמיד בוחרים בחדה. אהד.

 

[הנשר הנובח]

אתה מחליק... ../images/Emo107.gif

אהד, נדיר שאתה מחליק כאן בפורום... כפי ש *ca כתב לך, אסור לך לסובב סתם כך וקטור, כי אז אתה משנה אותו לוקטור אחר ! (לוקטור הנגדי שלו, עם סימן מינוס). תסתכל בציור שצירפתי - הזווית בין שני הוקטורים שבצד שמאל היא חדה. אם תשנה את כיוונו של הוקטור x , אמנם הזוית תהפוך להיות קהה, אבל אז הוא גם יהפוך להיות וקטור אחר, כלומר מינוס x ! אגב, כדי שתהיה שקט, אתה יכול למצוא את ההגדרות והנוסחאות האלה בכל ספר למתחילים בתיכון, ואפילו בנוסחאון של בגרות 5 יחידות : בזווית בין ישרים יש ערך מוחלט במונה, ואילו בזוית בין וקטורים אין ערך מוחלט מהסיבות שהסברתי. שאלתי היום גם מורה למתמטיקה כדי להיות שקט לחלוטין.

 

[Fingertip]

אתה יודע מה אני שם על בגרות...

בכל מקרה, אני עדיין חולק, וכשמסובבים וקטור, הוא בוודאי משתנה, אבל הזוית שביניהם אמורה להישאר אותו הדבר, ולא לתזז בין זוית קהה לחדה. אהד.

 

[הנשר הנובח]

רגע, רגע ../images/Emo107.gif

בשלב הזה לפחות אנחנו מסכימים על דבר אחד : זה פשוט ענין של הגדרה... וכך מגדירים זאת בביצפר ובספרים. ומכיוון שניסינו לענות כאן למישהו שלומד בביצפר, על שאלה שהתשובה לה היא זוית קהה, אנו מנסים ללכת לפי הכללים שמלמדים בביצפר ושרשומים שם בספרות... הרי זה מה שישאלו אותו ובבגרות ובמבחנים שלו ! בוא לא נריב אהד, וסליחה אם נשמעתי פסקני, זו לא היתה הכוונה, רק רציתי להגיד שזה מה שלימדו אותי ושהיה כתוב בכל מקום. האם נוכל לסיים בהסכמה שזו שאלה של איך מגדירים, ולא משנה כלום להמשך, ולהישאר ידידים ?

 

[Fingertip]

לא כעסתי...

אבל מה שאתה אומר באמת נשמע מתאים לתיכון, מעין הגדרה עקומה שכזו. בכל מקרה, אם מישהו היה מוריד לי נקודות על הפתרון של שישית פאי, הייתי פוסל אותו בתור מתמטיקאי. אהד.

 

[טלמון סילבר]

נדמה לי שהגדרת מכפלה סקלארית של

וקטורים היא מכפלת המודולים שלהם והקוסינוס של הזווית ביניהם, אז הכיוון כן חשוב. לא כך?

 

[Fingertip]

לא.

הגדרת המכפלה הסקלארית היא סכום מכפלת הרכיבים. אבל בכל מקרה, הפסקתי להקשיב רק לעצמי,

And now I see the error of my ways​

ואכן צדקת, והכיוון אכן חשוב. אהד.

 

[טלמון סילבר]

שתיהן אקוויוולנטיות ביניהן.

 

[הנשר הנובח]

ההסבר מה הטעות שלך ../images/Emo107.gif

הטעות שלך היא טעות מאד נפוצה שהרבה נופלים בה בהתחלה, ואני יודע את זה כי גם אני הייתי עושה אותה מלא כשהתחלנו ללמוד את החומר הזה... בכפל ה"רגיל" של האלגברה יש כלל ידוע, שאם A·B = 0 אז A או B שווים לאפס. חשוב מאוד : בכפל סקלרי של ווקטורים הכלל הזה איננו נכון ! אם המכפלה הסקלרית A·B של שני ווקטורים שווה לאפס, זה לא אומר בהכרח שאחד מהם הוא אפס ! (זה רק אומר שהם מאונכים זה לזה...) ומכאן נובעת הטעות שלך. אז איך כן פותרים ? את זה אהד הראה לך מצויין, אם משהו עדיין לא ברור בהסבר שלו - תחזור לכאן ותשאל. אגב, כדי למנוע ממך טעויות בעתיד, הנה עוד משהו שלא "אוכל" במכפלה הסקלרית : בכפל של האלגברה, אם : A·B = A·C (כולם שונים מאפס) , אז B=C . במכפלה סקלרית זה לאו-דווקא נכון !