מסתבכת בשאלה זו, עם LN

[עינב1כ]

מסתבכת בשאלה זו, עם LN

עזרו בבקשה בשאלה זו: א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה F של X שווה לשורש ובתוך השורש יש 6 פחות LN כפול X בשלישית ב. הוכח כי F של X היא פונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. התשובות בספר הן: X גדול מאפס וX קטן שווה מE מריבוע. את סעיף א´ איכשהו הצלחתי, לאחר תחום הגדרה X גדול מאפס של הLN, וX גדול שווה מאפס של השורש, וביצעתי חיתוך בינהם. לגבי סעיף ב´, גזרתי וקיבלתי F תג של X שווה ל1/2 כפול בסוגריים 6 פחות LN כפול X בשלישית סגור סוגריים וכל זה בחזקת מינוס חצי כפול בסוגריים מינוס אחד חלקי X בשלישית סגור סוגריים כפול 3X בריבוע כעת כיצד מוכיחים שהיא יורדת בכל תחום ההגדרה? אשמח מאוד להסברים ודרך פתרון תודה רבה רבה רבה עינב

 

[1ca1]

תרשמי את הפונקציות

f(x)=V(6-3lnx) כאשר v מסמל שורש ריבועי השתמשתי בחוקי לוגריתמים כדי לפשט את הביטוי 6-3lnx>0 6>3lnx 2>lnx x<e^2 ובגלל שאר תחומי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים ש 0<x<e^2 תשימי לב שכאן x יכול להיות אחד. עכשיו f´(x)=(-3/x)/(2*השורש) כל לראות שהביטוי במכנה חיובי לכל x שנמצא בתחום ההגדרה שלו (כי מדובר שם על שורש חיובי) ואז המונה -3/x קל לראות שמאחר שתחום ההגדרה הוא חלק מ R++ כל x שנמצא בתחום ההגדרה יגרום לנגזרת להיות שלילית לכן הפונקציה יורדת בכל התחום​

 

[עינב1כ]

ראשית כל תודה רבה רבה רבה,אך..

לא הבנתי מדוע היא הפונקציה יורדת... (((((((( אני מקווה שאני לא מטרידה ומשגעת אותך. אנסה להבין. תודה עינב

 

[1ca1]

תסכימי איתי שהמכנה בנגזרת של

פונקציה רציונאלית הוא תמיד חיובי ואינו משפיע על הסימן... (לכן למשל שגוזרים נגזרת שנייה והפונקציה היא רציונאלית מספיק לגזור רק את המונה וכו´). לכן בואי נסתכל על המונה

-3/x​

תשימי לב שעבור כל איקס חיובי שתציבי בביטוי הנ"ל תקבלי ערך שלילי. אם הערך שלילי אז שיפוע המשיק הוא יורד ולכן הפונקציה יורדת. תשימי לב שהפונקציה מוגדרת רק עבור מספרים חיוביים (אומנם לא כל R+ אבל היא עדיין יכולה לקבל רק ערכים חיוביים כאשר 0<x וגם x<e^2) לכן הפונקציה תמיד יורדת.

 

[עינב1כ]

תודה רבה רבה רבה. הבנתי.