מספר שאלות על ההוכחה המצורפת
ראשית לגבי הביטוי של הסגמאות שמוקף בצהוב.
יש שם 3 סגמאות: את הסיגמה הראשונה נסמן ב-a, את השנייה ב-b ואת השלישית ב-c.
בעצם ממה שאני מבין, p^a מחלק את !n,
p^b מחלק את !k,
p^c מחלק את !(n-k).
מה שקצת לא מובן לי, זה איך מראים ומסבירים שהביטוי שמוקף בצהוב מחלק את n choose k.
אני מנסה להסביר זאת, אבל משהו חסר לי בהסבר...זה ההסבר:
zz n choose k = n! / k!(n-k)! zz , כאמור לעיל, p^a מחלק את המונה (קרי: מחלק את !n).
ואת המכנה מחלקים p^b וגם p^c (כל אחד מהם מחלק גורם אחד מבין שניי הגורמים).
מה שקצת חסר לי, זה איך אני יודע שאחרי החלוקות האלה, נותר מספר שלם? n choose k זה מספר שלם. אחרי שאני עושה את החלוקות האלה, מדוע אני נותר עם מספר שלם? או שבכלל זה לא אמור לעניין אותי אם אני נותר עם מספר שלם או לא?
כעת לגבי העמוד השני של ההוכחה:
מה הסיבה שאני יכול להציג את n לפי בסיס p? (שורה ראשונה בעמוד השני. שכחתי לסמן את זה בצהוב).
שורה לאחר מכן, חילקו ב-p^i, לכן בכל מחובר בסכום, החזקה מעל p היא j-i...החלק הזה מובן לי. אין בעיה איתו.
שורה לאחר מכן (שמוקפת בצהוב)...שם לא ממש הבנתי משהו. בעצם ההבדל בין השורה הזו לשורה הראשונה, הוא שכאן יש ערך שלם תחתון, ואז מסיבה כלשהי, הסכימה מתחילה החל מ-j=i.
אני רוצה לוודא שהמעבר הזה ברור לי ע"י הוספת מעבר כזה: ערך שלם תחתון של n חלקי p^i, שווה למעשה לסכום (מ-j=0 עד t), של ערך שלם תחתון של (nj p^(j-i ?
כעת, עבור j < i , מתקיים ש- (p ^(j-i קטן מ-1 , לכן אם גם (nj p^(j-i קטן מ-1, אז הפעלת ערך שלם תחתון תיתן אפס, ולכן סוכמים באמת אפסים. אבל מי אמר ש-
(nj p^(j-i קטן מ-1? מי אמר שהוא גדול מ-0?
והדבר האחרון שלא מובן לי, זה מה שהולך בחלק האחרון של ההוכחה. בעקרון דוגמה ספציפית לשימוש במשפט הזה היא הדוגמה הבאה:
אם n=13, p=2, k=10
אז לפי בסיס 2 מתקיים:
k = 1010
n-k = 0011
והחיבור שלהם הוא:
1101
מספר עמודות הנשא בחיבור האחרון הוא 1 (יש נשא מעמודה 2 לעמודה 3).
לכן 2 בחזקת 1, מחלק את zz 13 choose 10 zz , בעוד שלמשל 2 בחזקת 2, לא מחלק אותו.
בהוכחה הכללית אני קצת מתקשה להבין את העניין עם הנשאים, ואת המעברים שם.
אודה מאד למי שיכול לענות על השאלות שלי כי האמת שאני מתעסק כבר די הרבה זמן עם ההוכחה הזו ואני לא מבין את הנקודות שעליהן שאלתי כאן.