מספרים מרוכבים...

[Ekrembo]

מספרים מרוכבים...

מה הם משמשים בפיזיקה? למה משתמשים בהם ולא בסקלארים ווקטורים "נורמאליים"? תודה

 

[החתול של שרדינגר]

להמון דבריםθ

קשה לי לדמיין את הפיזיקה בלי מספרים מרוכבים. ראשית כל, הם שימושיים מאד לתיאור תנועה הרמונית, בעיקר בגלל התכונה המופלאה ש- e^iθ=cosθ+isinθ, המוכרת בתור נוסחת אוילר. למה זה טוב? כי הרבה יותר נוח לעבוד עם אקספוננטים (חזקות של e) מאשר עם קוסינוסים וסינוסים. מכאן אנחנו מקבלים שכל התיאורים של גלים נוח לתאר עם מספרים מרוכבים. והיות וגלים נכנסים בכל חלק של הפיזיקה, ברור שזה מאד שימושי.

 

[אחמס1]

כמו שאמר החתול,

בעיקר רואים מספרים מרוכבים בזהות המפורסמת, כלומר רושמים את הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות אקספוננטים מרוכבים. למעשה במהלך שנה וחצי של לימודי פיזיקה טכניונית אולי ראיתי מספרים פעם אחת מחוץ להקשר הטריגונומטרי (במדידת עיקבה של מעגל חשמלי, זה גודל מרוכב, אבל אם ממש לא היו רוצים להימנע ממספרים מרוכבים, היה אפשר לטפל בו בכל זאת). כמובן שזה לא מנע מהם ללמד קורס שלם באנליזה קומפלקסית - ואם avinamal קורא במקרה, האם תוכל לקשר אותי לצייר הפונקציות המרוכבות שדיברת עליו לפני כמה ימים?

 

[שייח ספיר]

דווקא החתול של שרדינגר

צריך לדעת שתורת הקוונטים מבוססת כולה על פונקציות גל בעלות ערכים מרוכבים. זה לא טריק מתמטי אלא משהו בסיסי לטבע. אפשר אולי להתחכם ולכתוב משוואות ממשיות עבור חלק ממשי ודמיוני של פונקציית הגל, אבל זה כבר לסבך דברים ללא צורך. ואנליזה קומפלקסית זה דבר שימושי מאוד בפיסיקה (למשל, במשפט הרזידום משתמשים המון. גם העתקות קונפורמיות יכולות להיות כלי שימושי).

 

[אחמס1]

../images/Emo5.gif

סתם, פשוט לשמוע שוב את שמו של הרזידום הנורא, כל כך מעט זמן אחרי שסיימתי מרוכבות (ביום חמישי) זה לא נעים. -שוב סתם-, זה לא היה כזה נורא - אפילו מהנה בצורה מעוותת. אבל פשוט עם הנסיון המועט שלי, לא יצא לי להשתמש במציאות במשפט הרזידום, רק בתרגילים שהוכנו ספציפית עבור מטרה זו ובקורס שיועד ספציפית עבור זאת. כנ"ל העתקות מביוס/קונפורמיות. האם אתה יכול לתת דוגמה לבעיה פיזיקלית הדורשת שימוש בנ"ל (בעיקר משפט הרזידום)? ולגבי קוונטית - זה מעניין מה שאתה אומר. למעשה אצלנו לא ממש התייחסו לזה בזמן ההסברים, רק אמרו שערך נמדד והסתברות חייבים להיות ממשיים. כשאני חושב על פונקציות גל למשל, למקרה הכי פשוט (חלקיק חפשי), אנחנו נוהגים לכתוב אותה קומפלקסית (כאקספוננט עם מדומה חיובי ואקספוננט עם מדומה שלילי), אבל למעשה אפשר לכתוב אותה עם קוסינוסים וסינוסים באותה מידה. אז איך מתבטא ה-"משהו בסיסי לטבע" של המרוכבים בקוונטית?

 

[People]

אחת הדרכים לפתח את פונקציות גרין

למערכת כדורית, וצילינדרית עבור משוואת הגלים היא ע"י משפט הרזידום וטרנספורם פורייה המרחבי. שימושים נוספים הם בהערכת אניטגרלים באופטיקה, בקוונטים ועוד. יחסי פורייה של פונקציות סיבתיות (קשרים בין שדות א"מ בזמן ובתדר) והוכחות של קיום ויחידות משתמשות המון במשפטים מפונקציות מרוכבות.

 

[אחמס1]

תודה

אני מניח שאני אגיע גם לזה באיזשהו שלב. וכדאי שאני באמת אלמד איך מוצאים פונקציות גרין ללפלסיאן, עד עכשיו לא קלטתי את הדמויות האלה.

 

[שייח ספיר]

סליחה.

לא תיארתי לעצמי שיש לך סיוטים מרזידום שעיר עם שיניים חדות הרודף אחריך על פני כל המישור המרוכב. בכל אופן, אם אתה מצליח ללכוד ולאלף את הרזידום אתה יכול להשתמש בו לחישוב אינטגרלים סינגולריים, פונקציות גרין וכו'. לגבי העתקות קונפורמיות, הן מאפשרות לך לפתור את משוואת לפלאס בתחום מישורי בעל צורה מסויימת עם תנאי שפה מסויימים באמצעות פתרון על כל המישור ו"קיפול" שלו לתחום המבוקש. המשוואות הקוונטיות נכתבות באופן טבעי באמצעות גדלים מרוכבים, ולמרות שניתן עקרונית לפרק אותן לרכיבים ממשיים, זה יהיה מסובך ומעצבן. הפאזה הקוונטית זה משתנה חשוב מאוד שעולה ישירות מהתיאור המרוכב. קשה להבין התאבכויות קוונטיות בלעדיו. ומה תעשה עם ספינים בלי מספרים מרוכבים? תסתבך כהוגן! ותאלץ לוותר על אופרטורי יצירה והשמדה אשר אינם הרמיטיים. ועוד לא הגעתי לאינטגרלי מסלול. בקיצור, אל תכנס לזה אפילו!