יש מספר דרכים
הנה שלוש דרכים לבנות את הממשיים על רגל אחת (אם אתה רוצה דוגמאות או עוד הסברים רק תבקש, כי בדרך כלל לוקח כמה שעות טובות להבין את זה). ההגדרה ה"כללית" אומרת: קבוצת ממשיים היא שדה סדור R כך שלכל קבוצה חלקית בשדה-A, אם קיים ל A חסם מלעיל, קיים לה חסם עליון (התכונה הזו נקראת אקסיומת החסם העליון). * חסם מלעיל של קבוצה הוא איבר בשדה (לאו דווקא בתוך הקבוצה) שגדול מכל איבריה. * חסם עליון הוא החסם המלעיל הקטן ביותר. אגב, ההגדרה לא אומרת ש*קיימת* קבוצת ממשיים, ואם היא קיימת אף אחד לא אמר שהיא יחידה, כלומר שכל קבוצות הממשיים איזומורפיות (ניתן להוכיח את הטענות האלה...) יש עוד מספר דרכים לבנות את הממשיים ממש, מתוך תורת הקבוצות. כל הדרכים מביאות לקבוצה המקיימת את התכונה שהוזכרה לעיל. דרך אחת היא ע"י חתכי דדקינד- חתך דדקינד, הוא קבוצה של רציונליים, המקיימת את התכונות הבאות: 1. היא אינה מכילה את כל הרציונליים. 2. אם רציונלי שייך לחתך, אז כל הקטנים ממנו גם שייכים. 3. אין בו איבר גדול ביותר. דדקינד הגדיר על קבוצות הרציונליים המיוחדות האלה פעולות, ויחס סדר, והוכיח שכולן ביחד מהוות שדה, המקיים את אקסיומת החסם העליון. שיטה אחרת להגדיר את הממשיים היא בעזרת סדרות אינסופיות (שברים עשרוניים). יש עוד הרבה דרכים, וכל אחת מהן מספקת הוכחה לכך שקיימת קבוצת ממשיים.
