מסילות

[the man is back]

מה זה בדיוק אינטגרל קווי

ומה אומר משפט גרין. פשוט אני שומע על הבחור המון ואני רוצה לדעת מה אומר המשפט שלו.

 

[איגור קרסיק]

תרשמי פה את השאלה במלואה!

 

[איגור קרסיק]

.....

אינני חושב שכדאי לבלבל אותך עם הגדרות יחסית מסובכות... ניתן לאמר שאינטגרל קווי הוא כמו אינטגרל רגיל רק שהקטע עליו מתבצעת האינטגרציה הוא מסילה שנמצאת ב-R^n = עקום שנמצא ב"מרחב" n ממדי. משפט גרין מקשר בין אינטגדל קווי לבין אינטגרל כפול... אינטגרל כפול הוא אינטגרל שדומה לאינטגרל הרגיל רק שאת קטע האינטגרציה ה"קלאסי" מחליפה קבוצה במישור...

 

[Shiberia]

מסילות

אני מניח שלעקום x^2+xy+y^2=1 אין פרמטריזציה יפה , אם אכן כך איך אפשר לעשות אינטגרל קווי על העקום הזה?

 

[Fingertip]

זה תלוי שדה...

לפעמים אפשר להחליף את העקומה בעקומה אחרת... אהד.

 

[Shiberia]

ואם לא ?

האם במצב כזה נרים ידיים?

 

[טלמון סילבר]

דווקא יוצא יפה בקו´ קוטביות, אבל...

זו אליפסה. לכן אי אפשר לחשב את אורך הקשת שלה באמצעות פונקציות אלמנטריות.

 

[Shiberia]

איך????

 

[Shiberia]

איך אליפסה?

x=0 ->y=+-1 y=0 -> x=+-1

 

[טלמון סילבר]

אין סתירה. האליפסה "באלכסון", כלומר

הצירים שלה מסובבים ב-45 מעלות. אפשר להיווכח בכך למשל:

x^2 + xy + y^2 = (x + y/2) ^ 2 + ((sqrt(3)/2)y) ^ 2​

שזה כבר מאוד מזכיר אליפסה, או בהצבה רגילה לקואורדינטות קוטביות רואים שהעקומה מוגבלת, שזה יכול להיות רק אליפסה (מבין כל העקומות ממעלה 2).

 

[Shiberia]

יופי טופי אז אם כך

אני רוצה לעשות דבר כזה ( סתם בשביל הכיף ) : לראות למה שווה האינטגרל של (xdy-ydx)/(x^2-xy+y^2) על העקומה היפה ההיא. אני מציב x=cost-sint/sqrt3 ו y=2sint/sqrt3 ואז אני מאנטגרל מ 0 עד 2pi (נקווה ששוב פעם אין לי בעיה עם sin cos ודברים כאלה ) ואז נקבל דברים מאוד מאוד יפים. התוצאה דרך אגב יוצאת 4pi/sqrt3 כמה יפה ופשוט. כל הטירחה הזו בשביל זה? ...