מכפלות וקטורים

[ASHY]

מכפלות וקטורים

שלום אנשים. אני מחפש את ההוכחה (או עדיף רמז להוכחה) שמכפלה סקלרית של וקטורים היא בקוסינוס הזווית בניהם וזו הוקטורית היא בסינוס הזווית ויוצא ווקטור אנך. בנתיים מה שיש לי - כשמכפילים בקוסינוס מקבלים ששני הוקטורים (או ליתר דיוק ההטל של אחד על השני) הם באותו הכיוון, ובסינוס הכיוון אנכי... תודה

 

[ym78]

רמז להסבר / בקשה להבהרה

אנא הגדר (לעצמך ו)לנו מהי מכפלה סקלרית ומהי מכפלה ווקטורית. אחרי שתספק הגדרות מסודרות כאלה, נסח מחדש את השאלה (אם עדיין תישאר כזו).

 

[ASHY]

מכפלה וקטורית ומכפלה סקלרית

כפי שאני יודע, אפשר לכפול וקטור A בוקטור B בשתי צורות: 1. בראשונה תוצאת המכפלה היא סקלאר (מכפלה סקלרית) והיא משום מה מבוצאת כמכפלת שני הוקטורים בקוסינוס הזווית בניהם 2. השנייה, תוצאתה היא וקטור המאונך לשני הוקטורים, והיא משום מה מבוצאת כמכפלת שני הוקטורים בסינוס הזווית בניהם. השאלות - למה סינוס או קוסינוס ומה ההוכחה לכך

 

[1ca1]

תבין משהו

מכפלה סקלארית (פנימית), (לפחות הסטנדרטית לR^n), מוגדרת כסכום מכפלות הרכיבים. עכשיו מזה לא קשה להגיע להגדרה ה"גיאומטרית" (פשוט מגדירים את המכפלה חלקי מכפלת האורכים כקוסינוס הזווית, ומוכיחים שהערך המוחלט קטן מאחד בעזרת אי-שיוויון קושי-שוורץ) באופן כללי מכפלה פנימית מעל R (או C) היא תבנית ססקווילינארית (בילינארית), סימטרית (הרמיטית) וחיובית לחלוטין. לגבי מכפלה וקטורית, היא קיימת רק בR^3 (אפשר להכליל אותה עם תכונות דומות (אנטי-סימטריות וכו') לפונקציה של n-1 וקטורים במ"ו ממימד n),ולפי מה שאני יודע, הפיתוח שלה הוא יותר גיאומטרי בעיקרו והגיע מפיזיקה בעיקר (ונחמד שמה לחשב מקבילית/מקבילון, זה מגיע מהדטרמיננטה) בוא נגיד את זה ככה, בוקטורים, כדאי לסמוך על הוכחות אלגבריות מאשר גיאומטריות (המרצה במכניקה ניסה להגדיר את המכפלות האלה בדרך גיאומטרית, וניסה להראות את הבילינאריות שלהם וכו' וממש הסתבך עד כדי חוסר דיוק,הגעה להוכחה מעגלית ואמירת דברים לא נכונים...)

 

[Linkoholic]

אני מת על ההסברים הפשוטים שלך ../images/Emo6.gif

"באופן כללי מכפלה פנימית מעל R (או C) היא תבנית ססקווילינארית (בילינארית), סימטרית (הרמיטית) וחיובית לחלוטין."

 

[1ca1]

שמע זאת ההגדרה של מכפלה פנימית

כלומר כל מי שלמד לינארית 2 יודע לשלוף אותה בלי יותר מדי בעיות... (רק לשם דוגמא, בחיוביות לחלוטין למשל (שזה הדבר היותר "קשה להבנה" כאן), שנדרש בשביל הגדרת נורמה ע"י מכפלה פנימית, משתמשים גם לסיווג נקודות אקסטרמום של פונקציות בכמה משתנים...) מאחר שASHY רוצה להתקדם יותר מהתיכון, אני חושב שראוי לספק לו הסברים ברמה יותר גבוהה... מן הסתם אם זה היה תלמיד שלומד וקטורים בכיתה י, לא הייתי עונה לו כך (במידה שכן, מן הסתם הייתה מופיעה הודעת תגובה כגון ??? וכו')

 

[ym78]

לא לא לא לא ושוב לא!!!

תקרא שוב את מה שביקשתי לעיל. הייתי רוצה ש

 

[ym78]

... (המשך)

מרוב העצבים נלחץ לי ה"שלח" בטעות. אז: תקרא שוב את מה שביקשתי לעיל. הייתי רוצה שת-ג-ד-י-ר מהן מכפלה סקלרית / ווקטורית ואז תשאל את השאלה. מהי מכפלה סקלרית בשבילך? אגב, "לקחת שני ווקטורים ולקבל מהם סקלר" אינה הגדרה. ה-ג-ד-ר-ה! מוות למערכת החינוך.

 

[ASHY]

אוקיי רוצה הגדרה?

זו בטח לא הפורמלית אבל בגלל שהתעצבנת כל כך, בבקשה:הגדרה מכפלה סקלרית לפני הניסוח שלי: יהיו A וB וקטורים וa זוהי הזווית החדה בניהם. מכפלה סקלרית מוגדרת כמכפלת |A| ב|B| ובקוסינוס a כלומר:

A*B=|A

B|*cos a​

זו ההגדרה. עכשיו נובעת שאלה אחרת - למה התוצאה היא סקלאר? ואם אפשר לא בניסוח גבוהה, אין לי עדיין את כל הידע במתמטיקה כדי להבין את הניסוח הגבוה הזה... פושט יב'ניקית שמחפש תשובות איפה שמערכת החינוך לא נותן

 

[טלמון סילבר]

מספר הערות

א. היצגת הגדרה טובה ("פחות או יותר") ומקובלת. אז איך אפשר להוכיח הגדרה?!

ב. רק הערה אחת להגדרה: וקטור זה לא סתם קטע, אלא גם כיוון! לפיכך, בין שני וקטורים (שונים מ-0) קיימת זווית אחת ויחידה, אין אפשרות לבחור משהו. וזווית זו יכולה להיות גם קהה. כלומר, מכפלה סקלארית יכולה לצאת גם שלילית. ג. התוצאה, לפי הגדרת מכפילה סקלארית, היא מִסְפָּר! פירוש המילה 'סקלאר' זה מספר. להבדיל מ'וקטור'. התוצאה של מכפלה וקטורית, לעומת זאת, היא וקטור.

 

[DarkCrystal]

אוקיי, עכשיו תוכיח עבור מימד שני

ושלישי ש

(x0,y0) * (x1,y1) = x0x1 + y0y1 (x0,y0,z0) * (x1,y1,z1) = x0x1 + y0y1 + z0z1​

(מספיק להוכיח את השני, אבל הייתי מציע להתחיל מהראשון) בהצלחה.

 

[ym78]

מצוין!

אחרי שניסחת את ההגדרה, עכשיו הטענה ברורה (שאין בעצם טענה). יש כאן מכפלה של 3 מספרים - |A|, |B| וקוסינוס הזווית ההיא... זה הכל. שום מתמטיקה גבוהה ושום כלום. מצטער על העצבים. ככה זה כשאני כשמערכת החינוך מעצבנת אותי. בסה"כ רציתי להדגים (וזה עבד, לדעתי) איך (לפחות) חצי מהדרך לפתרון שאלה נעוץ בלהבין מה השאלה, בעצם. כאן זה היה בניסוח המדויק של ההגדרות, ואז הבנו שאין בעצם שאלה.

 

[ASHY]

אוקיי אז למה

למה להכפיל בקוסינוס? למהל א להסתפק ב|A| כפול |B|.או אם רוצים להתחשב בכיוון (וזה מובן כי אלו וקטורים) אז למה לא בטנגס הזווית? או בזווית עצמה? ולמה התוצאה של |A| כפול |B| וsin a זהו וקטור אפילו ששלושת הגדלים הללו הם סקלרים?

 

[ym78]

שוב:

אתה ה-ג-ד-ר-ת את המכפלה הסקלרית כ-|A| כפול |B| כפול קוסינוס הזווית. אתה לא יכול עכשיו לשאול למה להכפיל בקוסינוס. מצטער על זה שאני פוץ, ככה נולדתי. אתה צריך להבין מה ההגדרה ומה אתה טוען לגביה. ובקשר לשאלתך השניה - התוצאה של |A| כפול |B| כפול סינוס של משהו זה מספר (סקלאר). לא ווקטור. שוב: תגדיר במדויק מהי מכפלה סקלרית/ווקטורית בשבילך (או בשביל המורה/מרצה שלך). ואז, כשאנחנו מבינים מה ההגדרה (ועליה לא מתווכחים!) אז אפשר לשאול שאלות. למשל, היה אפשר להגדיר מכפלה סקלרית כמו שהגדרת לעיל, ואז לשאול - מה המשמעות הגיאומטרית של ההגדרה הזו? (במלים אחרות, כשעושים מכפלה סקלרית בין שני ווקטורים ויוצא מספר, מה המשמעות של המספר? האם יש דרך קלה "להבין" בצורה אחרת מה המספר הזה מייצג?) ואז אפשר לדבר על היטלים וכו'... אבל לא מתווכחים על הגדרות.

 

[טלמון סילבר]

תשובה קצרה לשאלה השניה.

לפי הגדרת מכפלה וקטורית של שני וקטורים, התוצאה היא וקטור, ש|הגדר|האורך שלו מוגדר בצורה מסויימת - מכפלה הכוללת סינוס, וגם הכיוון שלו מוגדר בדרך מסוימת. "תשובה פילוסופית" לשאלתך, מדוע הגדירו כך ולא אחרת מכפלה סקלארית ומכפלה וקטורית: כי כך יש להם הרבה שימושים מעשייים! זה הכל.

 

[ASHY]

אוקיי אז אנחנו מדברים על פרקטיקה

וזו סתם הגדרה, וההוכחה שלה היא שהיא הגדרה. זה פשוט פרקטי אה? טוב זה גם משהו תודה

 

[טלמון סילבר]

לא ממש הבנתי אותך.

דבר ראשון, יש שני מונחים שונים: הגדרה והוכחה, ולא צריך לבלבל ביניהם. אם הגדרנו 'חוצה-זווית של משולש' כישר המחלק את אחת הזוויות של המשולש לשתי זוויות שוות, אז אי אפשר להוכיח שחוצה הזווית של משולש מחלק את אחת הזוויות שלו לשתי זוויות שוות. דוגמה אחרת. הגדרנו חוצה-זווית, תיכון וגובה של משולש. עכשיו אפשר להוכיח, למשל, שבמשולש שווה-שוקיים חוצה-הזווית, התיכון והגובה, היוצאים מ"קודקוד הראש" אל ה"בסיס" - שלושתם מתלכדים. עד כאן הכל מובן? דבר אחר, אם אתה שואל לסיבה, מדוע הגדירו משהו כך או אחרת, אז אפשר לדבר על שימושים שונים. באותה מידת הצלחה אתה יכול לשאול, מדוע המתמטיקה הבסיסית כל כך מרבה להתעסק עם חוצי-זוויות, ולא עם ישרים המחלקים זווית לשלושה חלקים שווים? וזו שאלה לגיטימית לחלוטין, על השימוש בדברים שונים.

 

[dot27]

טלמון, מה ההשכלה שלך?

 

[1אברהם]

יש פה מה להוכיח

נתונים 2 וקטורים Y X מעל שדה הממשיים עם רכיבים בקורדינטות קרטזיות ...x1 x2 x3 ו ... y1 y2 y3 בהתאמה . האורך של כל אחד מוגדר כשרש סכום ריבועי הרכיבים, ובניהם יש זווית a ( מוגדרת לפחות במימד שני ושלישי ) נגדיר מכפלה סקלרית כ <X,Y> הגדרה 1: מכפלה סקלרית היא סכום מכפלת הרכיבים כלומר

<X,Y>=x1*y1+x2*y2+x3*y3.....xn*yn​

הגדרה 2: מכפלה סקלרית היא מכפלת האורכים כפול קוסינוס הזווית בין הווקטורים:

<X,Y>=

*|Y|*cos(a)​

טענה שיש להוכיח: שתי ההגדרות שקולות

 

[1אברהם]

תיקון למשוואה האחרונה

<X,Y>=| X | *|Y|*cos(a)​