מי רוצה חידה נוספת?

[טלמון סילבר]

מי רוצה חידה נוספת?

(למרות שנדמה לי שכולם די רדומים לאחרונה...) נתון מרובע קמור כלשהו. את כל אחת מצלעותיו נחלק לשלושה חלקים שווים. אם הנקודה A היא אחד הקודקודים של המרובע, אז נסמן את כל 12 הנקודות על המרובע לפי כיוון השעון: ABCDEFGHIJKL. המרובע הוא ADGJ. נחבר את הקטעים הבאים: BI, CH, EL, FK. באופן זה חילקנו את המרובע ל-9 מרובעים קטנים יותר. צריך להוכיח, ששטח המרובע הפנימי הוא תשיעית משטח המרובע הכולל. הערה: אולי, בנוסף לפתרון ה"רגיל", יכולים המומחים בגאומטריה פרוייקטיבית, אם ישנם כאן כאלה, לומר אם מקצוע זה יכול לספק תשובה מהירה לחידה הזאת?

 

[sharc]

הוכחה

נסמן את נקודות החיתוך הפנימיות ב X Y Z W כלומר X ו Y הם על הצלע CK ן W Z הם על הצלע BI שלב 1 שטחי המרובעים ABIJ BCHI CDGH מהווים סידרה חשבונית. אפשר להוכיח זאת ע"י זה שמראים שגבהי המשולשים ABI BCH CDG הם סידרה חשבונית ( העבר ישר מקביל לקטע AD דרך G ...) . כנ"ל לגבי גבהי המשולשים AIJ BHI CGH . מסקנה : שטח המרובע האמצעי BCHI ( וגם LEFK ) הוא שליש משטח כל המרובע. שלב 2 נראה ש CX=XY=YH וגם BW=WZ=ZI ( וגם יצא ש EX=XW=WL FY=YZ=ZK ) הקטעים FH EI DJ CK BL כולם מקבילים ביניהם. זה נובע מדמיון משולשים (צלע זוית צלע ), כי המשולש ABL דומה למשולש ADJ ולמשולש ACK והמשולש FHG דומה למשולשים EIG וDJG . אורך הצלע FH היא שליש מאורך האלכסון DJ וCK הוא שתי שליש מאורך אותו אלכסון DJ. מדמיון משולשים FYH וCYK נובע ש YH הוא שליש הקטע CH ובצורה דומה מראים שגם CX הוא שליש מ CH . כלומר הנקודות X Y מחלקות את CH ל 3 חלקים שווים. מדמיון המשולשים BLW EWI מראים שהנקודות W Z מחלקות את BI ל 3 חלקים שווים. מאותה סיבה ש הראינו בשלב 1 ששטחו של BCHI הוא שליש שטח המרובע נובע ששטח XYZW ( המרובע הפנימי ) הוא שליש שטח BCHI כלומר תשיעית שטח המרובע הכולל. מ.ש.ל.