מישהו יכול להסביר?

[טלמון סילבר]

נַסֶה את הדוגמה שהיצעתי.

 

[MTKOL]

מישהו יכול להסביר?

לחברי הפורום, לפני זמן לא רב פרסמתי פה ת´רד, בקשר לפתרון משוואה מלאה ממעלה שלישית, אבל התגובה (מאמר באנגלית שניתן לי) לא עזר ולא הבנתי אותו...מישהו יודע איך פותרים משוואה כזו ויכול להסביר לי בבקשה? בתודה רבה מראש

 

[טלמון סילבר]

זה ארוך ומסובך מאוד, וקשה לשימוש.

 

[pallidfool]

הנה.

אני מתייחס לקובץ המצורף. נתונה המשוואה 1. עשה את ההחלפה 2, כדי לקבל את 3. סמן (לנוחות) כמו ב-4,5. עשה את ההחלפה 6, קבל את 7. הכפל את שני האגפים ב-8 כדי לקבל את 9. פתור את 9 - זוהי משוואה ריבועית, כשאתה מסמן את 10 באות כלשהי. עכשיו הצב בהחלפות שעשית כדי למצוא את ערך המשתנה המקורי. אני מקווה שלא היו לי טעויות או בלבולים. בכל מקרה, אני חושב שלא קשה להבין מה צריך לעשות גם אם טעיתי. אם אתה רוצה, אתה יכול להציג משוואה כזו ואנסה לפתור אותה. (דרך אגב... תראו: http://quiz.ravenblack.net/blood.pl?1353869250

)

 

[טלמון סילבר]

תנסה:

8x^3 - 6x + 1 = 0​

 

[pallidfool]

../images/Emo13.gif ../images/Emo163.gif

תאשים את וייט. ההחלפה הבעייתית היא שלו

יש טעם להמשיך במרוכבים? איזו החלפה אחרת ניתן לעשות?

 

[טלמון סילבר]

אני דווקא לא נכנס לעומק של נוסחת

טַרטַליָה-קַרדָנוֹ. את הפתרונות של משוואה זו אני יודע, כי הרכבתי בעצמי את המשוואה. כשתנתח אותה בעזרת הנגזרת, תראה שדווקא יש לה שלושה פתרונות ממשיים! נוסחת טרטליה-קרדנו נותנת לנו הרבה פתרונות מרוכבים, מהם צריך לדעת לבחור את המתאימים, ואחרי חיבור השורשים הנכונים יכולים לצאת דווקא מספרים ממשיים, כמו בדוגמה שהבאתי. יותר מזה! כשאיננו יודעים מראש איזה מהשורשים אנו אמורים לבחור, לכתיבת הרדיקאלים "שורש ריבועי" ו"שורש שלישי" אין כל ערך מעשי. במקרה הטוב נגיע לפונקציות טריגונומטריות. בדיוק כמו בדוגמה שלנו, שהרכבתי אותה עבור סינוס של 10 מעלות: קל לבטא סינוס 3 אלפא כפונקציה של סינוס אלפא, סינוס 30 מעלות ידוע, עבור סינוס 10 מעלות מתקבלת המשוואה שהיצעתי לך. הפתרונות האחרים יהיו מן הסתם סינוס 50 מעלות (כי סינוס 150 מעלות גם הוא שווה לחצי) ואיזה עוד? סינוס 130 מעלות אם לא התבלבלתי. נסה להרכיב משוואה ממעלה 3 לפי שורשים נתונים מראש, למשל 1, 2, ומינוס 3, ונסה אח"כ לפתור את המשוואה כאילו אתה לא יודע את התשובה מראש. נראה אם זה יהיה פשוט.

 

[טלמון סילבר]

דווקא היצעתי משוואה, בה יכולנו לדלג

על השלב בו צריך להיפטר מ-X בריבוע.

 

[MTKOL]

נו אז...

בת´כלס? איך אני פותר? מישהו יכול לתת לי משוואה (תרגיל סטנדרטי) ולפתור אותה בשלבים בכדי שאני אבין מה עושים? בתודה רבה מראש

 

[pallidfool]

חשבתי

שאתה מודע לבעיה הנקודתית בשיטה שהצגתי. כמובן שלא ניסיתי להפטר מאיקס בריבוע

הבעיה הייתה בהצבה (6), כיוון שהפתרונות של המשוואה שלך לא היו בתמונת הפונקציה (6), ולכן התקבלו מספרים מרוכבים בפתרון. לאלה התייחסתי. בכל מקרה, תוכל להראות (בקצרה) כיצד בנית את המשוואה?

 

[טלמון סילבר]

זה בדיוק העניין, שלא קיימת דרך

פשוטה לפתרון משוואה ממעלה 3 במקרה הכללי, כמו הדוגמה שהבאתי, כשידעתי מראש ששלושת השורשים ממשיים. הייתָ חייב להגיע למספרים מרוכבים, להתעמק בבחירת השורשים הנכונים מתוך מבחר אפשרויות, ובסוף נאלץ להגיע לטריגונומטריה, ולא להסתפק ברדיקלים.

sin(3a) = sin(a)cos(2a) + sin(2a)cos(a) sin(3a) = sin(a)(1-2(sin(a))^2) + 2sin(a)(1-(sin(a))^2) sin(3a) = 3sin(a) - 4(sin(a))^3 a = 10 maalot sin(a) = x 0.5 = 3x - 4x^3​

 

[טלמון סילבר]

למשוואה שהתקבלה אמורים להיות

שלושה פתרונות ממשיים:

sin10º sin50º sin130º​