מטריקות שקולות

[lebron james2]

מטריקות שקולות

כתוב לי במחברת את ההגדרה הבאה:

הגדרה:
נאמר ששתיי מטריקות d,p על קבוצה X הן שקולות, אם לכל U חלקית לX מתקיים:
U מוכלת ב(X,d) פתוחה אם"ם U מוכלת ב(X,p) פתוחה.

ושמטריקות הן שקולות אם הן מגדירות את אותו האוסף של קבוצות פתוחות (זו כנראה פרשנות מילולית של ההגדרה).

כמו כן, כתוב:
באופן שקול, מטריקות d,p על X הן שקולות אם לכל {x_n} חלקית ל-X
x_n מתכנסת לx תחת המטריקה p אם"ם x_n מתכנסת לx תחת המטריקה d.

אני לא ממש מצליח להבין למה מה שכתוב בהגדרה, שקול למה שכתבתי הרגע.

למעלה כתוב בכלל על קבוצות פתוחות שמוכלות במרחב תחת כל אחד מהמטריקות, ולמטה כתוב בכלל על התכנסות של סדרות לפי כל אחת מהמטריקות.

לא רואה קשר בין הדברים..

האמת שאני נזכר עכשיו שהוא אמר כמה פעמים שהמטרה שלנו היא "לזרוק את המטריקות, ולעבוד עם קבוצות פתוחות".

אין לי מושג למה הוא התכוון, למה זה טוב, ולמה אפשר לעשות את זה.

זה גם נראה לי חשוב כי הוא נדמה לי הדגיש את זה יותר מפעם אחת.

מישהו יכול בקשה לעזור עם זה?

תודה מראש!!

 

[אורי769]

זאת שקילות שצריך להוכיח

כאשר מוכיחים שקילות של הגדרות אז למעשה צריך להוכיח שני כיוונים. במקרה זה שניהם לא קשים במיוחד. אם נקרא להגדרה הראשונה הגדרה A ולשניה הגדרה B, אז הכיוון לפיו הגדרה A => הגדרה B הוא הקל יותר. בא ננסה...

מה נתון? נתון שהגדרה A נכונה. כלומר שקבוצה U פתוחה לפי d אם ורק אם היא פתוחה לפי p. נתונה גם סדרה x_n המתכנסת ל-x לפי d.
מה צריך להוכיח? צריך להוכיח ש-x_n מתכנסת ל-x לפי p.
הדבר הכי הכי חשוב, הוא שאתה תבין, שזה מה שנתון וזה מה שצריך להוכיח. זה הלחם והחמאה של המתמטיקה. הדבר החשוב הנוסף הוא לעבוד עם ההגדרות. צריך לדעת מה ההגדרה וצריך לרשום אותה במפורש. במקרה זה אתה צריך לרשום במפורש מה זה אומר שסדרה מתכנסת לפי d. תרשום את ההגדרה הזו במפורש, הן עבור הנתון והן עבור מה שצריך להוכיח. אחרי שתעשה כבר תהיה לך 90% מההוכחה.