מטריקה דיסקרטית

[lebron james2]

מטריקה דיסקרטית

האמת זה טיפה מבלבל אותי העניין הזה..

נניח יש לי מרחב מטרי (X,d) כאשר X=R ו-d זו מטריקה סטנדרטית.

ומרחב מטרי (Y,p) כאשר Y=R ו-p זו המטריקה הדיסקרטית.

אם אני מגדיר מ (X,d) ל (Y,p) את פונקציית הזהות.

אני רוצה טוען שהיא לא רציפה ומנסה להראות למה.

אז אם אני לוקח למשל את הקבוצה {1}.

אז מתקיים שהתמונה ההפוכה של {1} ע"י f (או בסימונים:
{f^(-1){1), היא {1} כי f זו פונקציית הזהות.
לכן התמונה ההפוכה של {1} תחת f, היא לא קבוצה פתוחה ב X=R
כי לכל x ששייך אליה (שזה למעשה רק 1) אין רדיוס כך שהכדור סביב ה-x הזה (כאמור, סביב 1) יהיה מוכל ב {1}.

אבל זה לא מראה שהפונקציה לא רציפה. בשביל להראות שהיא לא רציפה, אני צריך להראות שהקבוצה {1} שמוכלת ב-(Y,p) כאשר p היא המטריקה הדיסקרטית, היא קבוצה פתוחה.

זה נראה לי קצת משונה..לא יודע למה אבל אני קצת מסתבך עם זה למרות שזה נראה לי דבר שאמור להיות פשוט..

המטריקה הדיסקרטית עבור קבוצה X כלשהי מוגדרת ע"י
d(a,b)=1 אם a שונה מ-b. אחרת d(a,b)=0.
וזאת, לכל a,b in X.
אצלי, X=R. כלומר X הוא הישר הממשי.
אני רוצה להראות שהקבוצה {1} שמוכלת ב-R, היא קבוצה פתוחה ב-R. כלומר אני צריך להראות שלכל {x in {1, קיים r>0 כך ש:
(B_d(x,r (כלומר הכדור ברדיוס r סביב x=1 תחת המטריקה הדיסקרטית d) מוכל בקבוצה {1}.

טוב האמת שזה נראה לי מוזר כי כנראה אני רגיל לחשוב על "מרחק" בדרך הטבעית והנורמלית ולא כפי שהמושג הזה מוגדר ע"י המטריקה הדיסקרטית..

אם למשל אני לוקח כדור ברדיוס 1 סביב 1. למעשה זה אפילו לא באמת כדור נראה לי..אלא קטע סימטרי סביב 1..

נראה לי האמת שאני לא חושב על זה נכון..כי אם אסתכל על זה כך, זה מחזיר אותי להסתכלות על המושג של מרחק במובן הרגיל והנורמלי ואז יוצא שקטע סביב 1 בוודאי לא מוכל בקבוצה {1}.
כנראה שאני לא צריך להסתכל על זה בדרך "ציורית/גיאומטרית".
(אשמח אם במידה ואני טועה מישהו יעמיד אותי על הטעות).

קטע סימטרי סביב 1 שמרחקו משניי הצדדים של 1, הוא 1..מה יתקיים לגביו? לכל שניי מספרים ממשיים שונים, המטריקה הדיסקרטית קובעת שהמרחק ביניהם הוא 1.
לכל שניי מספרי ממשיים שווים, היא קובעת שהמרחק ביניהם הוא 0.

עדיין לא שם לב למה זה אומר שקטע סימטרי סביב 1 שרדיוסו 1, מוכל בקבוצה {1}.

משהו מבלבל אותי פה :[

אנסה אולי כך:
במטריקה הדיסקרטית, המרחק בין כל 2 נקודות במרחב שתחתיו היא מוגדרת, הוא או 0 או 1.
אם אקח דווקא כדור (סביב 1) ברדיוס קטן ממש מ 1/2, אז כל 2 נקודות במרחב, ששונות זו מזו, לא יכולות להיות בתוך הכדור (כי מרחקן זו מזו הוא 1).
מאחר והכדור הוא סביב 1, רק 1 שייך אליו. ולכן רק כל r שקטן ממש מ1/2
יעשה כאן את העבודה, כי יתקיים שהכדור ברדיוס r סביב 1, לא יכול להכיל שניי איברים שונים מהקבוצה (שאצלנו היא קבוצת המספרים הממשיים). לכן הוא שווה לקבוצה {1} ובפרט מוכל בה ולכן הקבוצה {1} פתוחה ב-R תחת המטריקה הדיסקרטית

האם לבסוף מכל ההסתבכות הזו אני צודק או עדיין טועה?
מקווה שלא כתבתי יותר מדי שטויות

אשמח לתגובות/הבהרות/הערות..

אגב אם מישהו יכול להסביר לי איך להסתכל על המטריקה הדיסרקטית מהבחינה הזו..במובן שזה יראה לי אולי טיפה פחות מוזר..לקבל איזשהי אחיזה בזה..

תודה על העזרה!!

 

[אורי769]

עשית בסדר גמור

נסתכל על
(Bρ(1,1
כלומר הכדור הפתוח ברדיוס 1 סביב הנקודה 1 לפי המטריקה הדיסקרטית. מה זה אומר?
{Bρ(1,1) = {x ∈ R : ρ(1,x) < 1
זאת ההגדרה של כדור פתוח.
אבל לפי ההגדרה של ρ, ה-x היחיד המקיים ρ(1,x) < 1 הוא x=1. לכן
{Bρ(1,1) = {1

אפשר גם עם רדיוס 1/2

 

[lebron james2]

תודה רבה

 

[lebron james2]

משהו אחר אך באותו עניין. עדיין מרגיש לא לגמרי בנוח עם זה

זו שאלה שראיתי פתרון שלה ויש שם חלקים שלא ברורים לי.
השאלה היא זו:
הוכח/הפרך:
אם X מרחב מטרי שלם ו- f:X->R פונקציה רציפה, אזי (f(X תת-מרחב שלם של R.
הלכו כאן על הפרכה, ונתנו דוגמה כזו:
בחרו את X=Q (כלומר X לקחו בתור קבוצת המספרים הרציונליים), עם המטריקה הדיסקרטית (שאקרא לה d).
ולקחו את f להיות פונקציית ההכלה.

שאלה 1:
איך בדיוק מוגדרת "פונקציית ההכלה". נדמה לי ששמעתי את השם הזה כבר אבל אני לא מוצא את זה אצלי במחברת. אשמח לראות את האופן שבו מוגדרת הפונקציה הזו.

כעת, הם טוענים ש X הוא מרחב מטרי שלם ומנמקים את זה ב"קל לראות".
כעת אני רוצה לנסות להוכיח את זה.
טענה: X מרחב מטרי שלם.
ניסיון הוכחה:
מרחב מטרי שלם, הוא מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת.
לכן, עליי להראות שכל סדרת קושי שחיה ב-X מתכנסת לגבול ששייך ל-X.
תהי {x_n} סדרת קושי שאיבריה שייכים ל-X.

לכן לכל e>0 קיים n0 כך שלכל m,n > n0 מתקיים: d(x_m,x_n)<e.
כלומר המרחק (במובן שבו המטריקה הדיסקרטית מגדירה אותו) בין כל שניי איברים בסדרה {x_n}, שהאינדקס שלהם גדול מ-n0, קטן מ-e.

שאלה 2:
על מנת לסיים, אני צריך להצדיק מדוע {x_n} מתכנסת, ומדוע הגבול שאליו היא מתכנסת, שייך ל-X.
האמת שאם היא מתכנסת, אז נראה לי שזה ברור שהיא מתכנסת לאיבר ששייך ל-X, כי X זה המרחב המטרי שעליו מדובר, וצריך להוכיח שהוא שלם.
ובכן, מדוע הסדרה מתכנסת? איך מוכיחים שסדרת קושי מתכנסת? (הרי לא כל סדרת קושי מתכנסת).

בשלב הבא הם טוענים כי f רציפה כי "כל פונקציה ממרחב מטרי דיסקרטי היא רציפה".
אני רוצה להוכיח שהפונקציה במקרה שלנו, מ-Q (עם המטריקה הדיסקרטית) ל-R (עם המטריקה הסטנדרטית) היא רציפה.
ניסיון הוכחה:
תהי U קבוצה פתוחה ב-R.
(האמת שאני לא סגור על מה זה פונקציית הכלה..אולי זו פונקציית זהות? אנסה להמשיך את ההוכחה כאשר f היא פונקציית הזהות. מקווה שאני לא טועה)
מתקיים ש (f^(-1)(U (קרי: התמונה ההפוכה של U ע"י f) היא U עצמה (אם f היא הזהות, אז ב-U יש רק מספרים רציונליים, כי התחום של f הוא Q, ולכן היא שולחת רציונליים אל עצמם, כי f היא הזהות).
f^(-1)(U)=U היא תת קבוצה של Q ואני רוצה להראות שהיא קבוצה פתוחה תחת המטריקה הדיסקרטית.
לשם כך אני צריך להראות שלכל x in U קיים r>0 כך ש (Bd(x,r מוכל ב-U.
כאשר: { Bd(x,r)={y in U: d(x,y) < r.
זו ההגדרה של כדור פתוח.
עכשיו אני צריך לשאול את עצמי, מי הם ה-y-ים שמקיימים d(x,y)<r, כאשר d זו המטריקה הדיסקרטית?
למעשה אני יכול לבחור את r כרצוני כי אני צריך להראות שקיים r.
x הוא רציונלי כלשהו ששייך ל-U.
אקח את r להיות 1.
כעת, מי הם ה-y-ים שמקיימים d(x,y)<1, כאשר d זו המטריקה הדיסקרטית?
רק y=x, כי עבור כל y אחר, d(x,y)=1.

הראיתי שלכל x in U קיים r=1>0 כך ש (Bd(x,1 מוכל ב-U.
כאשר { Bd(x,1)={y in U: d(x,y) < 1
וזה שווה ל {x}.
ואכן {x} מוכל ב-U.

שאלה 3:
ראשית אשמח לדעת אם לא טעיתי בהוכחה שכתבתי.
שנית, הם טענו שכל פונקציה ממרחב מטרי דיסקרטי היא רציפה.
כשאני מראה שפונקציה היא רציפה, אני יוצא מקבוצה פתוחה בטווח וצריך להראות שהתמונה ההפוכה שלה ע"י הפונקציה הרלוונטית, היא קבוצה פתוחה בתחום.
בטיעון שלהם, הם לא מתייחסים בכלל לטווח ולשאלה אם קיימת או לא קיימת קבוצה פתוחה בטווח. מדוע?
כמו כן, הם טוענים זאת לגבי כל פונקציה.
איך מראים את זה?

אודה מאד על העזרה!

 

[אורי769]

אענה על שאלה 1

בהנתן הקבוצות Y ⊆ X פונקצית ההכלה f: Y → X מוגדרת ע"י
f = y לכל y ∈ Y.

עכשיו כשאתה יודע את ההגדרה, נסה להבין את שאר ההוכחה