מטריצות..

[Andrea18]

מטריצות..

אם נאמר לי שמטריצות A ו-B מתחלפות בכפל כלומר :AB=BA אז לא נובע מכך ישירות שמטריצה A מתחלפת עם המטריצה B^2 הרי: A*B^2=B^2*A ניתן לכתוב גם כ- A*B*B=B*B*A והרי ידוע לנו ש- AB=BA ופשוט נשארים עם B=B... אני אמורה להוכיח כי הטענה הראשונה גוררת את השנייה ואני לא ממש מבינה מה יש להוכיח פה.

 

[Vlad5]

למה את אומרת שלא נובע?

AB^2 = ABB = (AB)B =(BA)B = B(AB) = B(BA) = BBA = B^2 A​

מקבלים שB בריבוע וA מתחלפות לפי ההגדרה.

 

[Vlad5]

לפי מה שאני זוכר,

גם קיימת טענה שאומרת שאם A וB מתחלפות - אז כל פולינום בA מתחלף עם כל פולינום בB.

 

[eladי]

../images/Emo127.gif

 

[Andrea18]

לא הבנתי את המעבר הזה:

=(BA)B = B(AB) הרי אם BA=AB נסמן נגיד ששתיהם שוות לאיזשהי מטריצה C מתקבל ש- CB=BC וזה לא תמיד נכון!

 

[Andrea18]

טוב אחרי שכתבתי את זה הבנתי חח

תודה !

 

[eladי]

זה לא מעבר קומוטטיבי אלא מעבר

אסוציאטיבי. שימי לב שלא נעשה שינוי בסדר האברים אלא רק בסוגריים המקבצים אותם.

 

[eladי]

מה הטענות שצריך להוכיח ?

אם אני מבין נכון, צריך להוכיח שאם A,B מתחלפות אז גם כל החזקות השלמות שלהן מתחלפות ? אם כך, אז

AB^2 = ABB=BAB=BBA = B^2A​

ובאינדוקציה על כל חזקה. או שלא הבנתי נכון ?

 

[dot27]

שאלה באותו ענין

נתונה A מטריצה רגולרית הוכח כי אם: AB=AC אז B=C. הוספתי לשני האגפים את המטריצה הנגדית לAC, הסכום יתן את מטריצת האפסים מאותו הסדר: AB-AC=0 דיסטריבוטיביות: A(B-C)=0, ועבור A שונה ממטריצת האפסים, B-C=0 B=C האם הוכחה בצורה כזו נכונה?

 

[The Transposer]

הפתרון הרבה יותר פשוט

כופלים את שני האגפים משמאל בהופכית של A. בקשר למעבר האחרון שלך, הוא לא מנומק היטב, כי בטענה שלך A(B-C) = 0 גורר ש B-C = 0 מכיוון ש-A היא אינה מטריצת האפס, אולם לא מספיק שA אינה מטריצת האפס, צריך גם ש A תהיה רגולרית כדי "לצמצם" אותה.

 

[eladי]

נכון למעט נקודה קטנה

שורה שלישית מהסוף: לא "A שונה ממטריצת האפס" כם אם "A רגולארית". אם A רגולארית, אזי כפל שלה בכל מטריצה שונה מ-0 יתן בוודאות משהו שונה מ-0 (שהרי הגרעין של A ריק למעט וקטור האפס).

 

[dot27]

אוקי, ולענין אחר

הוכח: נניח L1 מוכל שווה ל L2 שמוכל שווה לRn. הוכח כי אם dimL1=dimL2 אז L1=L2.

 

[The Transposer]

פתרון

נסמן dim L1 = k {u1,u2,...,uk} בסיס של L1. נניח בשלילה שישנה הכלה ממש - L1 מוכל ממש בL2. קיים v, הנמצא בL2 ולא בL1, ולכן v אינו צירוף לינארי של {u1,u2,...,uk} הקבוצה {u1,u2,...,uk,v} היא קבוצת וקטורים ב.ת.ל של k+1 וקטורים בL2, ומכאן שdim L2>=k+1, ולכן dim L2 > dim L1 - והגענו לסתירה.

 

[dot27]

מובן

תודה!

 

[d155]

שאלה

התרגיל בגאומטריה. תודה רבה