מחלקת שקילות, עזרה

[helloworld5]

מחלקת שקילות, עזרה

http://i.snag.gy/j9vrw.jpg
הוכחתי בקלות שזה יחס שקילות
עכשיו לגבי ב, ראיתי תשובה שזה
http://i.snag.gy/MNBHX.jpg
א, כיצד הוא הבין שהיחס R הוא אוסף נקודות על המעגל שהרדיוס הוא שורש של X בריבוע + Y בריבוע? וכיצד הבין שמרכזו בראשית הצירים?
מציבים נקודות? אשמח להסבר לקטע הזה

ולגבי הנציג ממחלקת השקילות, לא הבנתי, יש רק מחלקת שקילות 1? מדוע?
ולמה הנציג הוא החיתוך עם ציר ה X החיובי

תודה רבה!

 

[עעעערררר]

משפט פיתגורס

שים לב ש-a^2+b^2 זה (ריבוע) המרחק של הנקודה (a,b) מראשית הצירים, ולכן, שתי נקודות הן שקולות אמ"מ הן באותו מרחק מהראשית.
לכן, מחלקות השקילות, הן קבוצות של כל הנקודות שבמרחק מסויים מהראשית, כלומר, מעגלים שמרכזם הראשית.
&nbsp
יש הרבה מחלקות שקילות. מכל אחת בוחרים נציג אחד.
למה החיתוך עם ציר x? למה לא!

 

[helloworld5]

תן לי דוגמה למחלקת שקילות אחרת.

שהייתי יכול לכתוב במקום,

 

[טלמון סילבר]

דבר ראשון,

אל תבלבל בין המונח יחס שקילות לבין המונח מחלקת שקילות.
יחס השקילות (האחד ויחיד) המוגדר בתרגילון הנ"ל, הוא "פיזור" כל הנקודות במישור בין כל המעגלים השונים שמרכזם בראשית הצירים.
כל נקודה נמצאת בהכרח על אחד המעגלים ורק על אחד. כל הנקודות הנמצאות על אותו מעגל נחשבות ל"שקולות", נקודות הנמצאות על מעגלים שונים נחשבות "לא שקולות".
כל אחד מהמעגלים הוא מחלקת שקילות אחת.
כמובן, יש דרכים שונות לבחירת נציגים מכל מעגל.
אחת הדרכים היא, לבחור כנציג המעגל שרדיוסו שווה R, את הנקודה (R,0), שהיא הנקודה "הימנית ביותר" של המעגל, או, כפי שכתבו, "נקודת החיתוך של המעגל עם ציר x החיובי".
במקום זה אפשר, למשל, לבחור את נקודת החיתוך עם ציר x השמאלי, או עם כל ישר אחר, למשל עם "חוצה הזווית" x=y, ובאופן זה יתקבלו הנציגים
(R/sqrt(2), R/sqrt(2))
או, למשל, את נקודות החיתוך עם ספירלה:
(R•cos(R), R•sin(R))
כלומר, אפשר להשתולל חופשי.

 

[טלמון סילבר]

בחירת

נציגים בקואורדינטות קוטביות (ρ,φ): כאשר φ - כל פונקציה φ=φ(ρ), למשל:
φ = 0 (הנקודה הימנית של המעגל, חיתוך עם ציר x החיובי)
φ = π (הנקודה השמאלית של המעגל, חיתוך עם ציר x השלילי)
φ = π/4 (חיתוך עם חוצה הזווית)
φ = ρ (חיתוך עם ספירלה)

 

[טלמון סילבר]

דוגמאות

ליחסי שקילות אחרים על נקודות המישור.
1) כל המישור הוא מחלקת שקילות אחת. כל הנקודות שקולות זו לזו.
2) כל נודה מרכיבה מחלקת שקילות נפרדת. כל נקודה במישור שקולה לעצמה בלבד.
3) שתי נקודות נחשבות לשקולות, כאשר ורק כאשר שיעורי ה-x שלהן שווים. כל מחלקת שקילות היא ישר המקביל לציר y.
4) נגדיר במישור את חמש מחלקות השקילות הבאות:
א. הנקודות ברביע הראשון. עבור שיעוריהן מתקיים: x>0, y>0.
ב. הנקודות ברביע השני. עבור שיעוריהן מתקיים: x<0, y>0.
ג. הנקודות ברביע השלישי. עבור שיעוריהן מתקיים: x<0, y<0
ד. הנקודות ברביע הרביעי. עבור שיעוריהן מתקיים: x>0, y<0
ה. הנקודות על הצירים. עבור שיעוריהן מתקיים: xy=0.