מזה אומר?
- פותח הנושא MTKOL
- פורסם בתאריך
איגור קרסיק
New member
.....
פתרון אלגנטי זה פיתרון פשוט [או "יפה"]. למשל, ניתן להוכיח שמכפלת מטריצות היא קיבוצית ע"פ ההגדרה וכך ההוכחה נהיית מסורבלת מאוד, וניתן להוכיח את הטענה בשורה אחת בעזרת האיזומורפיזם בין מטריצות וטרנספורמציות לינאריות - וזו היא הוכחה אלגנטית.
פתרון אלגנטי זה פיתרון פשוט [או "יפה"]. למשל, ניתן להוכיח שמכפלת מטריצות היא קיבוצית ע"פ ההגדרה וכך ההוכחה נהיית מסורבלת מאוד, וניתן להוכיח את הטענה בשורה אחת בעזרת האיזומורפיזם בין מטריצות וטרנספורמציות לינאריות - וזו היא הוכחה אלגנטית.
עוד דוגמה...
יותר מוכרת מהבגרות: באינדוקציה: על מנת להוכיח את צעד האינדוקציה: דרך לא אלגנטית: להתחיל בצד שמאל של הטענה, (בד"כ יש לה שני צדדים) לפתח אותה לאיזה ביטוי, לעבור לצד ימין, ולפתח אותו לאותו ביטוי. (למשל, ע"י פתיחת סוגריים) דרך אלגנטית: להתחיל בצד שמאל של הטענה ולפתח אותה לצד ימין. עוד דוגמה: בבגרות 5 יח"ל, מועד ב´ השנה, שאלת האינדוקציה. דרך לא אלגנטית: לפתח את שני האגפים לאותו ביטוי מגעיל עם חזקות שלישיות. דרך אלגנטית: להוכיח נוסחה עבור c 1^2 + 2^2 + ... + k^2 c (שדרך אגב, ההוכחה שלה באינדוקציה הרבה יותר קלה לניסוח בדרך אלגנטית) ואז להציב k=2n. אהד.
יותר מוכרת מהבגרות: באינדוקציה: על מנת להוכיח את צעד האינדוקציה: דרך לא אלגנטית: להתחיל בצד שמאל של הטענה, (בד"כ יש לה שני צדדים) לפתח אותה לאיזה ביטוי, לעבור לצד ימין, ולפתח אותו לאותו ביטוי. (למשל, ע"י פתיחת סוגריים) דרך אלגנטית: להתחיל בצד שמאל של הטענה ולפתח אותה לצד ימין. עוד דוגמה: בבגרות 5 יח"ל, מועד ב´ השנה, שאלת האינדוקציה. דרך לא אלגנטית: לפתח את שני האגפים לאותו ביטוי מגעיל עם חזקות שלישיות. דרך אלגנטית: להוכיח נוסחה עבור c 1^2 + 2^2 + ... + k^2 c (שדרך אגב, ההוכחה שלה באינדוקציה הרבה יותר קלה לניסוח בדרך אלגנטית) ואז להציב k=2n. אהד.
רוצה?
בספר גיאומטריה של המישור של בני גורן, יש הוכחה לא אלגנטית של משפט פיתגורס. הוא מוכיח אותו בעזרת הטלות ושאר ירקות. לעומת זאת, יש הוכחה יותר אלגנטית: קח המשולש ו"צייר" אותו ארבע פעמים, כך שכל פעם הקודקוד שבצד של a של משולש אחד יגע בקודקוד שבצד של b של משולש אחר (ראה איור). כעת, שטח כל משולש הוא a*b/2 ולכן שטח כל המשולשים הוא 2ab. שטח הריבוע העקום הוא c*c ולכן שטח הריבוע הגדול הוא 2ab+c*c אבל מצד שני, אורך כל צלע של הריבוע הגדול הוא a+b ולכן שטח הריבוע הגדול הוא (a+b)*(a+b) כלומר, a*a + b*b + 2ab מהשוואת שני השטחים מקבלים a*a + b*b = c*c והוכחנו את המשפט. אהד.
בספר גיאומטריה של המישור של בני גורן, יש הוכחה לא אלגנטית של משפט פיתגורס. הוא מוכיח אותו בעזרת הטלות ושאר ירקות. לעומת זאת, יש הוכחה יותר אלגנטית: קח המשולש ו"צייר" אותו ארבע פעמים, כך שכל פעם הקודקוד שבצד של a של משולש אחד יגע בקודקוד שבצד של b של משולש אחר (ראה איור). כעת, שטח כל משולש הוא a*b/2 ולכן שטח כל המשולשים הוא 2ab. שטח הריבוע העקום הוא c*c ולכן שטח הריבוע הגדול הוא 2ab+c*c אבל מצד שני, אורך כל צלע של הריבוע הגדול הוא a+b ולכן שטח הריבוע הגדול הוא (a+b)*(a+b) כלומר, a*a + b*b + 2ab מהשוואת שני השטחים מקבלים a*a + b*b = c*c והוכחנו את המשפט. אהד.
חח 
יש איזה 100 הוכחות לפיתגורס
והנה עוד אחת, אלגנתית כמדומני זה הופיע בטכניון של חיפה, מה שהיה, הם בנו משולשים וכן את המשך הריבועים שלהם, והשאירו מעברים בין הריבועים שלהם, והכניסו כמות מים בצדדים. וכשסובבו את זה, כולם יכלו לראות שכמות המיים בצדדים שווה לזאת של ריבוע היתר. אומנם זה לא כללי , אבל עדיין אלגנטי ויפה וחוץ מזה יש איזה יותר ממאה הוכחות לפיתגורוס, אולי כדאי שנכנס אותם פה ונראה לכמה אנחנו מסוגלים להגיע
יש איזה 100 הוכחות לפיתגורסוהנה עוד אחת, אלגנתית
כמדומני זה הופיע בטכניון של חיפה, מה שהיה, הם בנו משולשים וכן את המשך הריבועים שלהם, והשאירו מעברים בין הריבועים שלהם, והכניסו כמות מים בצדדים. וכשסובבו את זה, כולם יכלו לראות שכמות המיים בצדדים שווה לזאת של ריבוע היתר. אומנם זה לא כללי , אבל עדיין אלגנטי ויפה וחוץ מזה יש איזה יותר ממאה הוכחות לפיתגורוס, אולי כדאי שנכנס אותם פה ונראה לכמה אנחנו מסוגלים להגיע דוגמה נוספת
קח את נוסחת השטח של מעגל. גזור אותה ביחס לרדיוס. תקבל את נוסחת ההיקף. תנסה אותו דבר עם כדור ונפח. תקבל את אותה תוצאה (לשטח פנים). זה יעבוד, למעשה, עם כדור בעל כל מספר שהוא של מימדים (גם 4, 5 או יותר). ועכשיו... הוכחה לא אלגנטית: להסתמך על אינטגרציה חוזרת ונשנית (כמו שמוצאים נפח כדור על ידי נפח גוף סיבוב, כך מוצאים היפר-נפח של היפר-כדור על ידי היפר-נפח גוף היפר-סיבוב
). אפשר לעשות את זה וזה רצח. הוכחה אלגנטית: לבנות שני היפר-כדורים קוצנטריים, כאשר הפרש הרדיוסים שלהם שואף לאפס, ולהראות בשתי שורות שככל שההפרש מתקרב לאפס, כך ההיפר-שטח-פנים כפול ההפרש שואף להפרש ההיפר-נפח.
קח את נוסחת השטח של מעגל. גזור אותה ביחס לרדיוס. תקבל את נוסחת ההיקף. תנסה אותו דבר עם כדור ונפח. תקבל את אותה תוצאה (לשטח פנים). זה יעבוד, למעשה, עם כדור בעל כל מספר שהוא של מימדים (גם 4, 5 או יותר). ועכשיו... הוכחה לא אלגנטית: להסתמך על אינטגרציה חוזרת ונשנית (כמו שמוצאים נפח כדור על ידי נפח גוף סיבוב, כך מוצאים היפר-נפח של היפר-כדור על ידי היפר-נפח גוף היפר-סיבוב
איגור קרסיק
New member
משהו נחמד שמצאתי
זה נמצא בספר האפור של יקואל עמ 41 ,שאלה 2 א. ולהלן השאלה: ידוע ש-a1,a2,...,an הם אברים שונים מאפס של סדירה חשבונית. הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל n>1 טבעי מתקיים:
זה נמצא בספר האפור של יקואל עמ 41 ,שאלה 2 א. ולהלן השאלה: ידוע ש-a1,a2,...,an הם אברים שונים מאפס של סדירה חשבונית. הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל n>1 טבעי מתקיים:
1/a1*a2+1/a2*a3+...+1/a(n-1)*a=[m-1]/a1*a
הדרך הלא אלגנטית היא להוכיח באינדוקציה. דרך יותר נחמדה נמצאת בקובץ המצורף.=[m-1]/a1*aCopyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.