מומנט של משולש

[Ron 417]

מומנט של משולש

יש לי משולש { משולש ריק,מוטות בלבד} שהציר שלו בקודקוד העליון {יענו אל תוך הדף} . מה הדרך הכי פשוטה לעשות את זה ? משולש שווה צלעות .. חשבתי לעשות מומנט של כל אחד מהמוטות בנפרד ,אבל לא יוצא לי . תודה

 

[john schmidt]

פתרון

אפשר להתייחס לשתיים מהצלעות כאל מוט עם ציר בקצה, מכאן שמומנט ההתמד של כל אחת מהן הוא I = (1/3)ML^2 מומנט ההתמד של הצלע השלישית הוא פשוט המומנט סביב מרכז הצלע + משפט שטיינר: I = (1/12)ML^2 + M(Lsin60)^2 = (5/6)ML^2 סה"כ I = (3/2)ML^2

 

[Ron 417]

אוקיי תודה ,עכשיו האתגר הוא עם מרכז המסה

דרך אחת היא עם משפט חוצי הזויות . יש לך רעיון אולי לדרך עם אנטגרציה ?

 

[john schmidt]

עזוב אותך מאינטגרציות

חלק את המשולש לשלושה משולשים חופפים של 30-30-120, כך שמרכז המסה נמצא בקודקוד המשותף. הפעם מרחק כל "מוט" מהציר הוא X = (L/2)tan30 = L/sqrt12 ושוב לפי שטיינר נקבל I = (1/12)ML^2 + MX^2 = (1/6)ML^2 סה"כ I = (1/2)ML^2

 

[Ron 417]

אני מחפש את מרכז המסה של המשולש

והוא יוצא L / SQRT (3) zzz . לא את המומנט ...

 

[john schmidt]

אופס

חשבתי שאתה פותר סעיף עם ציר סיבוב במרכז המסה. בכל אופן, זה אותו מיקום כמו שרשמתי.

 

[Ron 417]

בסדר זה יוצא מצויין

אם תעביר 3 חוצי זויות {שהם גם תיכונים} ועל פי זוויות וזהות zzz 1:sqrt3 : 2 אפשר להגיע לזה שהמרכז נמצא sqrt3 מהציר . העניין הוא שאני צריך לדעת איך עושים את זה עם אנטגרציה ,כלומר עם Ycm=∫ydm / ∫dm . אתה יכול להראות לי איך מוכיחים את זה ככה ? אני פשוט לא סגור על זה וחייב לדעת את השימוש באנטגרציה !

 

[john schmidt]

לא הבנתי

אתה בעצם רוצה למצוא את מרכז המסה באמצעות אינטגרלים?

 

[Ron 417]

כן בהחלט .

 

[john schmidt]

מה שאתה צריך לעשות

הוא להתייחס למשולש כאל משולש מלא אחיד (בלאו הכי מרכז המסה לא זז לשום מקום) ולהציב את אחת הצלעות על ציר הX כך שהקצה השמאלי שלה מתלכד עם ראשית הצירים. מכיוון שצפיפות המסה אחידה, מספיק לחשב את האינטגרלים zz (∫∫ydxdy)/s zz zz (∫∫xdxdy)/s zz כדי למצוא את מרכז המסה על ציר הY וציר הX בהתאמה. כאשר s מייצג את שטח המשולש והאינטגרלים נעים על פני שטח המשולש.