מומנט התמד - שאלה

[Ron 417]

מומנט התמד - שאלה

עשיתי ככה :

לפי שטיינר I_y=I_cm+ MD^2 I_y=1/3 m1* 0.8 + m2* (0.65)^2​

זה בסדר ? תודה

 

[john schmidt]

ההצבה לא נכונה

עדיף לפתור את הבעיה משיקולי אדיטיביות, היות וניתן למצוא את מומנט ההתמד של כלל המערכת לפי המוט והריבוע בנפרד. מומנט ההתמד של מוט סביב ציר בקצהו הוא I1 = (M1*L^2)/3 את הריבוע נחלק לפרוסות אנכיות אינפיניטיסימליות, כאשר מסת כל פרוסה הינה dM = (dx/0.3)*M2 ולכן מומנט ההתמד של כל פרוסה הינו dI = (x^2)*dM = (M2/0.3)*(x^2)dx נבצע אינטגרציה על הביטוי לפי x מ0.5 עד 0.8 ונקבל את מומנט ההתמד של הריבוע I2 = (M2/0.3)(0.8^3-0.5^3)/3 סה"כ מומנט ההתמד של המערכת הוא I = I1 + I2

 

[Ron 417]

איך אתה בדיוק

בונה את האטנגרל ? או יותר נכון לשאול - מה המבנה ה"קבוע" של האנטגרל ? ככה : dm = λ*dx כ λ היא צפיפות לאורך או משהו כזה (אני לא זוכר את ההגדרה המדוייקת) ?

 

[Ron 417]

ותגיד - כשאתה אומר פרוסה

אתה מתכוון לזה שאתה מחלק לאינסוף ריבועים קטנים ,נכון ? בגלל שה dI=x^2*dM ,וזה x^2 בגלל שכפלת צלע בצלע ?

 

[john schmidt]

חס וחלילה

x^2*dM היא הנוסחה הבסיסית למומנט התמד, בלי קשר לריבוע, משולש או כוכב נינג'ה. החלוקה עצמה הייתה לאינסוף מלבנים אנכיים (גבוהים) שרוחבם dx וגובהם 0.3. הריבוע אחיד, ולכן אפשר לומר שיחס השטחים בין מלבן לריבוע שווה ליחס המסות - ומכאן מסת המלבן כביטוי של dx. לאחר מכן הסתמכתי על המסה כדי להביע את מומנט ההתמד עבור מלבן כללי כלשהו במרחק x מציר ה-y. האינטגרל פשוט סוכם את כל המלבנים על פני הריבוע.

 

[Ron 417]

אוקיי אז עוד שאלה ברשותך

אני רוצה למצוא את המומנט של הגליל ,אז כמו שהבנתי אפשר בשתי דרכים : ע"י חלוקה לדיסקות ,או ע"י חלוקה של קליפות גליליות רבות. מה הכוונה ב "קליפות גליליות רבות " ? איך עושים ככה ? תודה אגב

 

[john schmidt]

הכוונה בקליפות גליליות רבות

היא לאינסוף גלילים בגובה H עם ציר סימטריה משותף ועובי דופן אינפיניטיסמלי, הכרוכים זה סביב זה. נתבונן באחת הקליפות הללו: גובהה כאמור H, עוביה dx ורדיוסה x. מכאן שנפחה הוא dV = 2pi*x*dx*H ומסתה dM = M(2pi*x*dx*H)/(H*pi*R^2) = (2M/R^2)*x*dx כבר בשלב זה ניתן להבחין בתופעה חשובה - מומנט התמד של גליל לא תלוי בגובהו. בהסתמך על מסת הקליפה נמצא את מומנט ההתמד שלה: dI = (x^2)*dM = (2M/R^2)*(x^3)*dx וכרגיל נסכום את כל הקליפות מרדיוס 0 עד R באמצעות אינטגרל, נקבל: I = (MR^2)/2 כלומר מומנט ההתמד של גליל אחיד מלא, זהה למומנט ההתמד של דיסקה אחידה בעלת אותם רדיוס ומסה. ניתן להראות קשר דומה עבור גליל חלול וטבעת.

 

[Ron 417]

רגע ,למה קישרת פה את הנפח ?

אם נפח של גליל הוא PI*r^2 *H אז איך הגעת ל dV = 2pi*x*dx*H ?

 

[john schmidt]

כי dV = נפח הקליפה

הקליפה היא למעשה גליל חלול בגובה H בהיקף 2pi*x ועובי דופן .dx

 

[Ron 417]

הלכתי פה לאיבוד

רק כדי להבהיר ,כשאתה מתכוון לאינסוף גלילים זה בעצם כמו בתמונה ? לא הבנתי למה דווקא השימוש בנפח ולא בשטח {כמו למשל בריבוע או מלבן} . נתון רדיוס x ,גובה H ועובי dx {=המעגלים שסוגרים על הגליל} . אז אם אני רוצה לחשב שטח של הצורה הזו זה כמו לפתוח את הגליל למלבן ואז לומר : צלע H ,כפול ,צלע 2pi*x ,לא ? אז למה יש פה גם dx ?

 

[john schmidt]

אממ

יכול להיות שלא ניסחתי את עצמי טוב. הכוונה בציר סימטריה משותף, לציר סיבוב המאונך לבסיסי הגלילים ועובר דרך מרכז המשותף לכולם. המחשה בתמונה המצורפת (מבט מלמעלה). כל גליל "עטוף" בגליל הבא אחריו, ברדיוס הולך וגדל, כאשר לכולם דופן בעובי dx. אם יותר נוח לך להסתכל על זה ככה, אז כן, אפשר לפתוח את הגליל למלבן ולמצוא את השטח שלו. אבל בנוסף, אנחנו עוסקים בבעיה תלת מימדית ולמלבנים יש גם עובי (אחרת לא היה נתון גליל מלא

) לפיכך כל מלבן הוא למעשה תיבה צרה בעובי dx.

 

[Ron 417]

יש לזה ריח של אנטגרל משולש

תודה עכשיו אני אנסה להבין ,בתקווה .

 

[Ron 417]

הביטוי (H*pi*R^2) ,הוא נפח של גליל כללי ?

אז בעצם הצפיפות של גליל ליחידת אורך היא : 2pi*x*dx*H/H*pi*R^2 ?? איך בדיוק הגעת ל (H*pi*R^2) ?

 

[john schmidt]

לגבי הכותרת - כן

בקשר ל- 2pi*x*dx*H/H*pi*R^2, זהו פשוט יחס הנפחים בין קליפה כלשהי לגליל. אין כאן קשר לצפיפות (הביטוי הרי חסר יחידות). ולמה מריח כמו אינטגרל משולש? רק לפני כמה הודעות קיבלת פתרון מלא באמצעות אינטגרל יחיד

 

[Ron 417]

אם הרדיוס שלך הוא כבר x ,אז מה קשור R ?

 

[john schmidt]

R "קשור" כי הוא רדיוס הגליל

x הוא רדיוס של קליפה כלשהי, יכול לקבל כל ערך מ0 עד R. אני ממליץ בחום לעיין בספר "מכניקה" יחידות 6-9 של האוניברסיטה הפתוחה. יש שם הסברים מקיפים מאוד בנוגע לחישוב מומנטי התמד באמצעות אינטגרלים.

 

[Ron 417]

כן ,מחר אני אעשה את זה

גם ככה תכננתי. תגיד ,אם אני רוצה לסכום עכשיו דסקאות {תקן אותי אם אני טועה ,זה בעצם דיסקה זה בעצם טבעת מלאה ?} אז לעשות ככה :

dM=1/5 mR^2 dI=x^2*dM= x^2 * 1/2mR^2 * dx dI=1/2mR^2 * x^2*dx​

והאנטגרל רץ מ0 עד H ? {אגב ,אין לי רעיון איך לעשות מומנט של הדיסקה ,פרט לשימוש באנטגרל כפול. יש מצב ללא ?}

 

[john schmidt]

לא הבנתי את ה1/5 בשורה הראשונה

תפרט בבקשה גם לגבי שאר המעברים. ודיסקה היא אכן טבעת מלאה. בעקרון אפשר להמנע מאינטגרל כפול, כי דיסקה היא בסה"כ סכום של אינסוף טבעות (החישוב אנלוגי לבעיית הגליל מקודם).

 

[Ron 417]

כן הבנתי לגבי הדיסקה

שאפשר לעשות בדיוק כמו שאתה עשית - אינסוף של טבעות {כמו שלך במבט מלמעלה}. dI= r^2 *dm dm = M* 2pi*dr / pi*R^2 = M * 2r*dr /R^2 dI=M* 2r^3*dr / R^2 , אנטגרל מסוים בין 0 ל R ואז יוצא I= MR^2 / 2 עכשיו אני מנסה לעשות את הגליל המלא עם האוסף של הדיסקיות . תגיד , לא אמור להיות אנטגרל כללי בין 0 ל H ? , אם אכן כך , אז זה קצת מוזר ,בגלל שיוצא לי מומנט שתלוי בגובה {ובוריאציה הקודמת יצא שלא !!} .

 

[john schmidt]

אה סבבה הנה ההסבר

בביטוי האחרון, 2/(I = (MR^2, אתה צריך להחליף את M בביטוי למסת הדיסקה. אם נתון למשל שמסת הגליל היא m, אז מסת כל דיסקה היא (dm = m*(dy/H כאשר y מייצג את הציר האנכי. כאמור נציב את dm במקום M במשוואה הקודמת ונקבל את מומנט התמד של דיסקה ברדיוס R עם מסה (m*(dy/H וגובה dy. על הביטוי החדש הזה תבצע אינטגרל מאפס עד H ותקבל את מומנט ההתמד של הגליל, להלן I = (mR^2)/2. אז כן...בדיעבד נאלצנו לחשב שני אינטגרלים, אבל מעכשיו זה כבר לא יהיה נחוץ כי ידוע הקשר בין מומנטי ההתמד של דיסקה וגליל.