מה זה אקסיומה?

[גרעאפס]

מה זה אקסיומה?

פעם חשבתי שאקסיומה זה הנחה שאמיתותה לא ניתנת להוכחה, אבל לאחרונה מקונן בי החשש שזהו לא כל האמת. האמנם?

 

[לידול]

אקסיומה- זו הנחת יסוד

 

[איגור קרסיק]

זלהלן הדרך שבה אינ מבין את המושג

אקסיומה מבחינתי היא מעיין הגדרה למושג. רק שלהבדיל מהגדרה רגילה אקסיומה מגדירה את המושג ע"פ התכונות הבסיסיות שאנו אינטואטיבית חשים שיש לאותו מושג. עדיף להשתמש בכמה שיותר פחות אקסיומות בשביל להגדיר את המושג שכן בדרך זו יש "יותר סיכוי" שמה שהגדרנו יתאם את המציאות.

 

[yontanbn]

הסבר יותר מקיף

אקסיומה היא הנחת יסוד לעבודה עם מערכת מתמטית כלשהי. למשל כשאתה מגדיר אובייקט חדש, ואתה מגדיר אותו ע"פ רשימה של תכונות, התכונות האלה יהיו אקסיומות בשבילך. אבל זה לא חייב להוות חלק מהגדרה כזאת. למשל, אפשר לבנות מערכת מתמטית, ש"אבני הבניין" שלה זה אותיות הא"ב האנגלי, ופעולה מסויימת שנקרא לה כפל, כאשר האקסיומות שלך הן a*b=c b*z=d a*b=g או כל מיני כאלה, ואז אתה יכול להסיק דברים, במקרה שלנו למשל שc=d. אבל שים לב שהנחתי גם שהשוויון מוגדר כמו שאנחנו מכירים אותו. בחלק מהמקרים מכניסים אפילו את זה כאקסיומות מפורשות של המערכת. איגור בטח יגיד, שגם זה מקרה פרטי של הגדרה של משהו ע"י תכונות, אבל לדעתי אני לא הגדרתי אובייקט חדש (כמו שדה או חוג או חבורה) אלא סתם ניסחתי מערכת ואמרתי מה ידוע לי עליה.

 

[בולי ים]

אקסיומה היא.....

אמת שניתנת להוכחה בדיוק כמו שאיגור אמר - על ידי אינטואיציה והיגיון בריא של אדם.

 

[atheist22]

ממש לא

כך אומנם חשב מי שהגדיר את זה במקור, אבל זה לא נכון. אינטואיציה והיגיון בריא לא תמיד עובדים ולפעמים דווקא יש צורך באקסיומות שמנוגדות להם.

 

[Fingertip]

לדעתי....

אקסיומות הן מעין יישור קו. הוכחה מתמטית אמורה לשכנע את הקורא בנכונות הטענה. האקסיומות באות "ליישר קו" בין כותב ההוכחה לקורא ההוכחה כך שיש כמה כללי יסוד שכולם מסכימים עליהם ואין צורך להוכיח אותם. לאחר מכן, קורא ההוכחה תופס עמדת אופוזיציה לכותב ההוכחה וכל מה שלא הוסכם עליו מראש ולא כלול במסגרת "כללי המשחק" (כלל משחק, למשל Modus Ponens) אינו משכנע את הקורא. ההוכחה תהיה נכונה רק אם לקורא לא תהיה שום דרך לטעון שהטענה אינה נכונה. או משהו כזה. עכשיו 3 בלילה, אז טבעי שיצאו לי משפטים כאלו, או מה שלא יהיה... אהד.

 

[בולי ים]

אתיאיסט-תן אקסיומה שמנוגדת להיגיון.

 

[atheist22]

אתן לך כמה

האקסיומה הבסיסית של תורת היחסות הפרטית היא כי מהירות האור בריק זהה לכל צופה. נובעות מזה כל מני תופעות מעניינות, כמו זה שהזמנים והמרחקים שונים עבור צופים שונים. האקסיומות של מכניקת הקוונטים מנוגדות להגיון עוד הרבה יותר, ואפילו אינשטיין עצמו שהמציא את תורת היחסות התקשה לקבל את ההנחות של מכניקת הקוונטים. למרות שהאקסיומות של שתי התיאוריות האלה מנוגדות להיגיון הרבה יותר מן האקסיומות של המכניקה של ניוטון, תורת היחסות ומכניקת הקוונטים מתארות את העולם הרבה יותר טוב.(למעשה הייתי אומר שזה לא למרות שהן מנוגדות להגיון אלא בגלל שהן מנוגדות להגיון. אני יכול להסביר לך למה אם אתה רוצה.) ואם אתה רוצה דוגמאות ממתמטיקה, אז יש גם כאלה. אנשים שניסו ללכת לפי ההגיון נכבו. הגיאומטריה האוקלידית התבססה על אקסיומות "הגיוניות". אחת מהן הייתה שבהינתן ישר ונקודה ניתן להעביר רק ישר אחד דרך הנקודה שלא חותך את את הישר הנתון. כשאנשים ניסו לראות אם הם יכולים לצמצם את מספר ההנחות בגיאומטריה, הם גילו שאפשר לבנות גיאומטריה עקבית גם ללא הנחה זו. בגיאומטריות מסויימות יש אינסוף ישרים כאלה ובאחרות אין אף אחד. יתרה מזאת, מאוחר יותר התגלה כי הגיאמטריה של היקום אינה אוקלידית, אלה אחת הגיאומטריות "הלא הגיוניות" שפותחו. בעולם האמיתי סכום הזוויות במשולש אינו 180 מעלות והיחס בין היקף המעגל לקוטרו אינו פאי.

 

[בולי ים]

תראה...

ברור שבעולם האמיתי האקסיומות האלה לא עובדות בגלל שזה מרחב והגיאומטריה מתכוונת לגיאומטריה של המישור, הרי בעולם האמיתי יש באמת אינסוף קווים דרך נקודה שמקבילים/מצטלבים (לא חותכים) לישר אחר כלשהו שהנקודה לא נמצאת עליו מכיוון שזו גיאומטריה של המרחב. אשמח לשמוע על הסבר כיצד אין אף ישר א´ העובר דרך הנקודה שלא נמצאת על ישר ב´ ולא חותך אותו משמע - כל ישר א´ העובר דרך הנקודה שלא נמצאת על ישר ב´ חותך את ישר ב´ - הסבר לי את זה בבקשה.

 

[atheist22]

דוגמה למה שביקשת

זה קורה בגיאומטריה על פני כדור. כל ישר חותך כל ישר אחר. ובכלל אני מציע לך לראות הודעה שכתבתי בעמוד הקודם בנושא גיאומטריה לא אוקלידית.