מהו e?

[גיל14]

מהו e?

איך מחשבים אותו אני יודע - אבל לא למה ואיך הגיעו לזה. אני גם יודע מה התפקיד שלו: הנגזרת שלו שווה לעצמו. איך?

 

[freedom rider]

מישהו מוכן להיענות לאתגר

ולכתוב תשובה לשאלה?

 

[LiverpoolFan]

דרך אחת לתאר את המספר e:

זה מספר שמבטא את המגבלה הקיימת על הרווח האפשרי מתכנית חיסכון לאורך זמן נתון. למה הכוונה? נניח משקיעים שקל אחד בתכנית חיסכון לשנה שנותנת ריבית נהדרת של 100 אחוז. אז בסוף השנה נקבל 2 שקלים כמובן (קרן פלוס הרווח). ואם נפצל את זה לשני קטעים של חצי שנה, שעל כל אחד רווח של 50 אחוז? אז נקבל (חישוב ריבית דריבית) 2.25 שקל. ואם נפצל את זה לשלושה שלישים שכל אחד נותן 33 ושליש אחוז רווח? אז נקבל עוד יותר בסוף השנה: בערך 2.37 שקל....וכן הלאה, הרווח ילך ויגדל ככל שנפצל את זה לתקופות זעירות יותר ויותר...אבל זה לא עולה ללא הגבלה, אלא מתקרב לרווח המקסימלי האפשרי שמבוטא ע"י המספר e ששווה בערך 2.718

 

[אלעדק]

אני אענה על זה

e=lim (1+1/n)^n כאשר n שואף לאינסוף אפשר לחשב את הביטוי ע"י הבינום של ניוטון e=(1+1/n)^n=1+1*n*1/n+n(n-1)/2!*1*1/n^2+n(n-1)(n-2)/3!*1/n^3..1/n^n ...(e=1+1+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n כשn שואף לאינסוף רואים שכל הסוגריים שואפים ל1 ומקבלים ...!lim(1+1/n)^n=2+1\2!+1/3!+1/4 המחוברים כולם חיוביים ולכן הסכום בצד ימין גדול מ2 . אפשר להוכיח את אי השוויון n>2 ע"י אינדוקציה q 1/n!<1/2^n-1 (לא להתייחס לq) מכאן נובע שהערך הנדרש מקיים את אי השוויון הבא: ...q 2<lim(1+1/n)^n<2+1/2+1/2^2+1/2^3 השברים בצד ימין מהווים טור הנדסי אין סופי שסכומו הוא 1 ולכן ניתן לרשום q 2<lim(1+1/n)^n<3 כשסדרה אינסופית חסומה מלמעלה ומלמטה, יש לסדרה הזו גבול ומכאן שלגודל lim(1+1/n)^n כשn שואף לאינסוף ,יש גבול והוא בערך 2.7183 מכאן נובע e=2.7183 בקירוב.

 

[1ca1]

בוודאי ובוודאי שלא

כמה מרצים לאינפי היו נחנקים אם היו שומעים את המשפט: סדרה אינסופית חסומה מלעיל ומלרע => בעלת גבול, אני חושב שמספר המרצים יכול להיות גדול כרצונך מה עם הסדרה

an=(-1)^n​

? לכן המשפט המדוייק הוא סדרה מונוטונית+חסומה מתכנסת, אבל קל להוכיח מונוטוניות של הסדרה הזאת (למשל באינדוקציה)

 

[אלעדק]

אוקיי, בזה אתה צודק..

ושכחתי לענות על שאלת הנגזרת של e^x ולמה היא שווה לפונקציה e^x . נתחיל במקרה הכללי a^x y=a^x נפעיל ln על שני צידי המשוואה lny=lna^x lny=xlna lny-xlna=0 נגזור כפונקציה סתומה y`*1/y-lna=0 מעבירים אגף y`=y*lna נציב y=a^x y`=a^x*lna e^x הוא מקרה פרטי כיון שlne=1 לכן e^x)`=e^x)

 

[1ca1]

ההוכחה לא נכונה

איך אתה מגיע לנגזרת של ln? ע"י המשפט של הנגזרת לפונקציה הפוכה של e^x לכן ההוכחה היא מעגלית אפשר להוכיח (הוכחנו את זה באינפי 1 או 2, כבר לא זוכר לא עולה לי הוכחת הלמה הזאת לראש) ש

f(x)=a*e^x כאשר a מספר​

היא הפונקציה היחידה המקיימת ש f'(x)=f(x)

 

[1ca1]

הנה 2 הוכחות שעלו לי לראש

זאת הוכחה לא עבור היחידות אלא רק עבור הגזירה

אפשר להגדיר את e בתור e=lim(1+h)^(1/h) כאשר h->0 f(x)=e^x =>f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h=((e^x)(e^h)-e^x)/h=(e^x)(e^h-1)/h אבל e^h-1=lim(1+h)^h/h)-1=1+h-1=h לכן f'(x)=e^x*h/h=e^x עוד הוכחה טור מקלורין של e^x הולך ככה e^x=1+1*x+x^2/2!+x^3/3!+... נשאר להראות שטור החזקות הזה אכן מתכנס לפונקציה קל להוכיח שכן infinity sigma(x^n/n!) n=0 לפי משפט דלמבר לטור חזקות נמצא את רדיוס ההתכנסות R=lim an/an+1=lim n+1=אינסוף כאשר n->אינסוף אפשר לבצע גזירה איבר איבר בתוך רדיוס ההתכנסות ואז (e^x)'=0+1+1*x+x^2/2!+...=e^x מ.ש.ל​

 

[אלעדק]

לא הבנתי מה אתה רוצה

אני לא מבין מה סיבכת את כל הנושא ? מה הבעיה עם להפעיל ln משני צידי המשוואה ולגזור? דבר ראשון זה לא משהו שצריך להוכיח אלא צריך לדעת איך לגזור וברמת 5 יחידות לא מגיעים להוכחות שלך. חוץ מזה מה לא נכון בזה ש a^x)`=a^xlna) אם זה לא נכון,אז כנראה שיש דברים שלא סיפרו לי ואם lne לא שווה ל1 אז תודיע לי כמה הוא כן שווה..

 

[1ca1]

תבין, איך אתה מוכיח את lnx'?

אתה משתמש במשפט שאומר על הקשר בין הנגזרת לבין הפונקציה ההפוכה נכון (ואותו בטוח כן מלמדים בתיכון בנושא של פונקציות הפוכות),ואז למעשה בעובדה שאתה גוזר ln,מתחבאת העובדה שאתה גוזר e^x (אלא אם כן אתה יודע איך להוכיח גזירה של לן, דבר קשה עד מאוד בלי המשפט המוזכר על הפונקציה ההפוכה) לכן אפשר לחשב למשל בשיטה א ע"פ הגדרת הנגזרת (שזה כן ברמה של התיכון), פשוט צריך לדעת מה זה e של הסדרות, ולנסח אותו קצת הפוך, שבמקום שn->אינסוף אז h->אפס. והדרך השנייה, היורת אלגנטית, מערבת גזירה של טור חזקות, וזה באמת לא ברמת התיכון, אבל היא בסדר (אבל למעשה גם שמה מוחבאת ההנחה על הנגזרת של e^x אז זאת לא נראה לי דרך טובה), בכל מקרה, הדרך הראשונה שלי 100% נכונה, תראה לכל מורה לחדו"א ותקבל 100 על זה...