תשובה ל1 ו-2, הבהרה ל-3
1 זה מקרה פרטי של 2, לכן אסביר ישירות מהי הנוסחה הכללית. בואו ונניח שקיימות M קומבינציות של צביעה שכאלו, עבור k ביצים ו-n צבעים. ננסה להסיק מהי הפונקציה F שמסבירה את M במונחי k ו-n, או: (M = F(k,n אם נתמקד בביצה הראשונה, ניתן לצבוע אותה כאמור ב-n דרכים. לכל אחת מ-n הדרכים הללו, יישארו k-1 ביצים לאחר מכן, שאותן צריך לצבוע ב-n הצבעים. אם אמרנו שכמות האפשרויות של צביעת k ביצים ב-n צבעים מתוארת בפונקציה שלעיל, אז כמות האפשרויות של צביעה דומה של k-1 ביצים תתואר בפונקציה: (F(k-1,n כאמור, קיימות n דרכים לצבוע את הביצה הראשונה, ולכל אחת מהן, יישאר מספר האפשרויות שניתן לצבוע k-1 הביצים ב-n צבעים. זאת אומרת, שכמות אפשרויות הצביעה של כל הביצים שווה לכמות אפשרויות הצביעה של הביצה הראשונה כפול כמות אפשרויות הצביעה של שאר הביצים: (M = F(k,n) = n*F(k-1,n אם נמשיך באותו האופן אחרי צביעת שתי הביצים הראשונות, הנוסחה תהיה: (M = F(k,n) = n*F(k-1,n) = n*n*F(k-2,n וכך בצורה זו עד שנגיע לביצה האחרונה: (M = F(k,n) = n*F(k-1,n) = n*n*F(k-2,n) = .... = n*n*...*n*F(k-k,n) = n*n*...*n*F(0,n היות והיו k ביצים, n מכפיל את עצמו k פעמים. האיבר (F(0,n אומר: בכמה דרכים אפשר לצבוע 0 ביצים ב-n צבעים? והתשובה היא רק בדרך אחת - לא לצבוע אף ביצה - זוהי האפשרות הריקה. לכן הערך של זה הוא 1. אם זה קשה מידי להבנה, אפשר לפתח את הנוסחה למעלה עד כמות אפשרויות צביעה של k-1 הביצים הראשונות, ואז n יכפיל עצמו k-1 פעמים, ונשארים עם האיבר (F(1,n שאומר: בכמה דרכים אפשר לצבוע ביצה אחת ב-n צבעים? והתשובה כמובן היא n. בסופו של דבר, בשני המקרים, n בסופו של דבר יכפיל את עצמו k פעמים, ולכך הערך של M הוא n בחזקת k, ובמקרה הפרטי של שאלה 1, זה 3 בחזקת 6. לגבי שאלה 3, באמת נראה לי שהשאלה מעורפלת או שחסרים פרטים. כשבדקתי, ראיתי שהתשובה יכולה להשתנות: אם ניקח ארבע נקודות על העיגול, A,B,C,D אשר מגדירות את הריבוע ABCD שכלוא בתוך העיגול, אז ישנן 5 נקודות חיתוך: כל אחת מהפינות בריבוע, וכן מקום החיתוך בין הקווים AC ו-BD, בתוך הריבוע. אבל, אם נסית את נקודה B טיפה קרוב יותר ל-A, כבר יש 7 נקודות חיתוך: בנוסף לנקודות החיתוך שהיו קיימות מקודם, עכשיו יש שתי נקודות חדשות, מחוץ למרובע ABCD, שהן המפגש בין קווים DA ו-CB, ובין קווים BA ו-CD. לכן יותר פרטים נחוצים בשאלה זו.
