לימסים ופאי

[השזיף המיובש]

לימסים ופאי

שלום לכולם! לא מזמן המורה שלי למתמטיקה סיפרה לנו על איך ארכימדס חישב את פאי (חסם מצולע משוכלל במעגל וחסם מעגל באותו מצולע (96 צלעות נראה לי) ואז היקף המעגל נמצא בין שני ההיקפים האחרים ולפי זה חישב בין אילו ערכים נמצא פאי). בשיעור אחד היה דיי משעמם אז חישבתי את פאי בשיטה הזו. קיבלתי: xsin(180/x) < π < xtan(180/x) כשX הוא מספר הצלעות של המצולעים והוא גדול מ2. כך חשבתי, שככל שיש יותר צלעות (כלומר X יותר גדול) אז פאי יותר מדוייק וחשבתי שאילו יש אינסוף צלעות, אז זה בעצם הופך להיות מעגל ומקבלים את הערך המדוייק של פאי. לכן חשבתי להציג את זה בצורה הזו: lim xsin(180/x) = π x -> ∞ (השימוש בין סינוס או טנגנס לא משנה כי sin0=tan0=0 מה שקורה כשמקבלים 180/∞ למשל. סינוס, כך חשבתי, יתן לי ערכים הקטנים מפאי ושואפים אליו וטנגנס גדולים מפאי ושואפים אליו) הבעייה היא שאילו אני פותר את הלימס הזה (שכרגע הוא בכלל במצב בלתי מוגדר - 0 כפול אינסוף...) אני מקבל שהגבול הוא אינסוף, אבל לי ברור שלא הגיוני שהערך יהיה גדול מפאי... איך אוכל ליישב את הסתירה?

 

[pallidfool]

דבר ראשון

יש לכתוב ברדיאנים - הגבול הוא: lim xsin(π/x) וערך גבול זה הוא אכן π, לא אפס ולא אינסוף. זהו ערך הגבול גם אם תחליף את פונקציית הסינוס בטנגנס.

 

[השזיף המיובש]

תודה

איך אפשר לחשב שהגבול הוא פאי?

 

[ReWom]

נסה את זה

 

[השזיף המיובש]

תודה, למרות שלא הבנתי מהנוסחאות

האלה הרבה, לא למדתי עדיין סדרות או את הסכומים האלה...

 

[pallidfool]

זה נובע מהגבול הבסיסי:

lim sin(x)/x כשהמשתנה שואף לאפס. מתבוננים בפונקציה

f(x)=1/x​

גבול הפונקציה הנ"ל כשהמשתנה שואף לאינסוף הוא אפס, ולכן ע"י הרכבה ניתן למצוא ש- lim xsin(1/x) כשהמשתנה שואף לאינסוף הוא 1. מכאן פשוט למצוא שהגבול שלך הוא פי. היה ברור?

 

[pallidfool]

דרך אגב,

הוכחת הגבול הנ"ל גם מתבססת על טריגונומטריה, כמו שאתה ניסית להוכיח את שלך. אפשר להגיד, ללא השימוש בהסבר שלי, שאתה הוכחת שהגבול הוא פי. בכל מקרה, שים לב שהאיקס שלך הוא מספר טבעי. בהוכחה של הגבול שהבאתי מוכיחים את הדבר לכל מספר ממשי.

 

[השזיף המיובש]

תודה, אבל לא כל כך הבנתי

איך הגבול של xsin(1/x) בשאיפה לאינסוף הוא אחד? לא מתקבל אינסוף כפול אפס? הרי הגבול lim sin(x)/x שווה לאחד בשאיפה לאפס, לא?

 

[טלמון סילבר]

אתה צודק:

באמת מתקבל מצב הנקרא "אי-מוגדרוּת מסוג אינסופ כפול אפס". במקרים אלה חייבים לבדוק כל מקרה לגופו. אם X שואף ל-0+, אז התוצאות תהיינה שונות עבור המכפלות הבאות:

x * (1/x) x * (1/x^2) x^2 * (1/x) x * (3/x)​

וכו´. במקרה הספציפי עם הסינוס זה באמת לא פשוט, אבל יש הוכחה שהגבול שווה 1. עכשיו תחזור אחורנית ותקרא שוב את התגובות לשאלתך.

 

[השזיף המיובש]

תודה

עדיין לא למדנו גבולות טריגונומטרים אז אני אסתפק בזה שיש הוכחה, ואולי אגיע אליה באיזה שיעור משעמם

פשוט אני צריך להוכיח למורה שלי שהיא טעתה...

 

[pallidfool]

במה היא טעתה?

 

[השזיף המיובש]

היא אמרה שזה לא שואף לפאי