ליוביל

[נחום כספי]

ליוביל

תהי f פונקציה שלמה לא קבועה. הראו שקיים z כך ש (f(z מספר ממשי.
איך ניגשים? פותרים?

 

[בחשכת הלילה]

ניסיון

בעיקרון, הטענה נובעת ישירות מהמשפט הקטן של פיקאר: פונקציה שלמה לא קבועה מקבלת במישור המרוכב את כל הערכים המרוכבים, אולי למעט ערך אחד בלבד:
[URL]https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99_%D7%A4%D7%99%D7%A7%D7%90%D7%A8%D7%93[/URL]
אבל נניח שעוד לא למדת את המשפט הזה, ואסור להסתמך עליו.
נניח בשלילה: תהי f פונקציה שלמה לא קבועה, שאינה מקבלת אף ערך ממשי.
זה אומר, שמתקיים אחת מן השתיים - בכל המישור המרוכב:
Im(f(z)) > 0
Im(f(z)) < 0
כי אם קיימים z1 ו-z2 המקיימים:

Im(f(z1)) > 0
Im(f(z2)) < 0

אזי, לפי משפט ערך הביניים, קיים איזשהו z3, בו Im(f(z3))=0.
נלך על Im(f(z))>0 בכל המישור המרוכב (עבור קטן מאפס הכל אותו דבר, או אפשר להתייחס לפונקציה מינוס f).
ובכן, עבור כל z מתקיים:
Im(f(z) + i) > 1
f(z) + i ≠ 0
ולכן הפונקציה:
1 / (f(z) + i)
היא פונקציה שלמה לא קבועה, ולפי משפט ליוביל - אינה מוגבלת.
זה אומר, שעבור כל ε>0 קיים איזשהו z, שעבורו מתקיים:
|1 / (f(z) + i)| > 1/ε
|f(z) + i| < ε
Im(f(z) + i) < ε
סתירה.

 

[נחום כספי]

תודה