לא כל כך הולך

[גש הנה]

לא כל כך הולך

לי סעיף ב´,אפשר בבקשה עזרה?

 

[הנשר הנובח]

אבל ../images/Emo107.gif

כבר עניתי לך היום על זה ! ואם משהו לא ברור בהסבר - תגיד מה או איפה נתקעת ואני אשמח לעזור... ולמה אתה לא משרשר את ההודעה לקודמת ?

 

[גש הנה]

נשר,נהיה לי ממש

בלאגן,קיבלתי K כפול שורש של Kבריבוע מינוס אחד(זה לפחות השורש הגדול) ונהיה לי אח"כ ברדק.

 

[הנשר הנובח]

ההמשך ../images/Emo107.gif

נטפל קודם בביטוי שמתלת לשורש (דלתא) :

4k²-4 = 4(k²-1)​

נציב זאת בנוסחת השורשים :

X2 = [2k+√4(k²-1)]/2 > 2 X2 = [2k+2√(k²-1)]/2 > 2 X2 = k+√(k²-1) > 2 √(k²-1) > 2-k​

מכאן אתה יודע לסיים ?

 

[גש הנה]

ממש תודה נשר ועוד אחת לסיום

sin2x+1=tanxcos2x

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

sin(2x)+1 = (sinx/cosx)·cos(2x) sin(2x)cosx+cosx = sinxcos(2x) cosx = sinxcos(2x)-sin(2x)cosx cosx = -sinx tanx = -1 x = -¼π+πK​

 

[orsela88]

באמת רציתי לשאול...

כשיש משוואה, למשל 8sinx=5cosx מותר לחלק ב-cosx? מותר לחלק ב-cosx בכל משוואה מהצורה הזאת גם כשיש מקדמים גם ל-sin וגם ל-cos?

 

[orsela88]

בלי לנמק למה מותר לחלק בו...

 

[הנשר הנובח]

שאלה טובה ../images/Emo107.gif

צריך לבדוק מה קורה כשהביטוי הזה מתאפס (במקרה שלנו cosx ). אם תבדוק את זה, כלומר תפתור את cosx=0 , תראה שהתוצאות אינן פותרות את המשוואה המקורית, ולכן אין מקום לחשש ומותר לחלק ! אבל חשוב תמיד לעשות את הבדיקה הזו. שיטה נוספת (בתרגיל המסויים שכתבת) : כש cos שווה לאפס ה sin שווה ל ±1 (יודע למה ?), ולכן ברור שזה אינו פותר את המשוואה !

 

[orsela88]

רגע...

דבר ראשון למה ה-sin שווה לפלוס מינוס 1 אם ה-cos שווה 0. דבר שני, כשיש מקדם רק ל-sin - גם אסור לחלק ב-cos? כלומר מותר לחלק ב-cos ממש רק במצב: sinx=cosx?

 

[הנשר הנובח]

תשובות ../images/Emo107.gif

תשובה לשאלה הראשונה - קיימת זהות מפורסמת (שהיא בעצם משפט פיתגורס) :

sin²α+cos²α = 1​

האם עניתי על שאלתך ? תשובה לשאלה השנייה - בכל משוואה מהצורה :

asinx = bcosx​

(כאשר a,b שונים מאפס) מותר לחלק ב cosx מהסיבה שפירטתי בתשובה הראשונה. אבל אני מציע לך לא ללמוד בע"פ כללים כאלה, אלא בכל משוואה (גם לא טריגונומטרית) לבדוק את המקרה שבו הביטוי בו אתה מחלק מתאפס. היתה שאלה ידועה בבגרות שבאה לבדוק את הבנת התלמידים בדיוק בעניין הזה בקיץ תשמ"ז - מומלץ לפתור !

 

[orsela88]

לימדו אותנו..

שבמשוואה sinx=cosx מותר לחלק ב-cosx בלי שום הסבר...

 

[הנשר הנובח]

הכוונה היא ../images/Emo107.gif

שההסבר הוא טריוויאלי עד כדי כך שאין צורך אפילו לרשום אותו. אם המורה שלכם מרשה לכם לא להסביר את זה אז אחלה, העיקר שאתה תבין את הרעיון. אני מציע לך שוב לפתור את התרגיל מהבגרות ההיא כדי לראות אם הבנת.

 

[orsela88]

אני מסביר ככה:

אם יש תרגיל 5sinx=8cosx: אני מחלק לשני מקרים: cosx=0 ו-cosx לא שווה 0 אם הוא לא שווה 0 אני מחלק בו ואז פותר... אם הוא שווה 0: זה אומר ש- x=90+180k ואז אני מציב את x במשוואה המקורית כש-cosx=0: 5sinx=0 5sin(90+180k)=0 90+180k=180k 90=0 אין פיתרון... זאת דרך נכונה נכון? ואיפה אני משיג את השאלה הזאת מהבגרות?

 

[הנשר הנובח]

תיקון קל ../images/Emo107.gif

הדרך נכונה, בסוף קצת התבלבת... סינוס של 90+180K שווה ל ±1 ולא למה שרשמת, כך שמקבלים ±5 שווה לאפס, וזה פסוק שקר. השאלה מהבגרות:

3sin²x-4sinxcosx+5cos²x = 2​

א. הסבר מדוע מותר לחלק ב cos²x את המשוואה הזו. ב. על סמך סעיף א´, או בדרך אחרת, פתור את המשוואה (תן פתרון כללי).

 

[orsela88]

למה?

אם sinx=0 אז x=180k לא? ואני לא מבין למה סינוס של 90+180k שווה לפלוס מינוס 1.... ואיך אתה מסביר למה מותר לחלק בביטוי הזה? מוכיח שאם הוא שווה 0 אז אי השוויון לא מתקיים לאף x? למרות שלפי מה שאני רואה יש פיתרון אם קוסינוס בריבוע של x שווה ל-0. בעצם רק אם לא הופכים את הסינוס בריבוע לאחד פחות קוסינוס בריבוע... איך זה יכול להיות?

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

נתבונן במעגל הטריגונומטרי. כאשר מחשבים את סינוס של 90º+180ºK , אז אם k זוגי (למשל k שווה ל 0 או ל 2 ) נהיה תמיד בנקודה של 90º , ששם הסינוס שווה תמיד ל 1 , ואילו כאשר k אי זוגי נהיה תמיד בנקודה של 270º , שם הסינוס שווה ל 1- . לגבי הפתרון שלך אני רק עכשו הבנתי למה התכוונת... זה כמובן בסדר. לגבי השאלה מהבגרות, הנימוק הוא שבודקים מה קורה כאשר cos²x=0 . התוצאה איננה מקיימת את המשוואה שבשאלה, ולכן מותר לחלק בו ללא חשש. אם לא אכפת לך, אני חוזר וממליץ על הדרך שאני אוהב ושמאוד מקצרת את הפתרון גם כאן : לפי הזהות שהזכרתי לך היום, כאשר cos שווה לאפס, הסינוס שווה ל ±1 . תציב את זה במשוואה ותראה תוך שנייה שמקבלים פסוק שקר!

 

[orsela88]

אבל אם אתה לא משתמש בשיטה הזו...

אז cos בריבוע של x שווה ל-0 וגם cosx שווה ל-0. מקבלים 3 סינוס בריבוע של שווה 2... ולזה יש פיתרון... אז מה הטעות במה שאמרתי כרגע?

 

[הנשר הנובח]

בוודאי שיש לזה פתרון ! ../images/Emo107.gif

אבל זה לא אותו פתרון כמו של cosx=0 ! אתה לא יכול להציב באותה משוואה שני x-ים שונים ! הרעיון הוא לא שתקבל משוואה שאין לה פתרון... אלא שהפתרון של cosx=0 יפתור את כל המשוואה ! בקיצור, הפתרון של cosx=0 איננו פותר את המשוואה (תציב ותראה) ולכן מותר לחלק בו ללא חשש.

 

[orsela88]

טוב... תודה!!