כמה חידות

[yak141]

כמה חידות

מצורפות שתי חידות לא מסובכות מדי אך קשות מאלה שפרסמתי בשבוע שעבר. את החידה הראשונה אני ממליץ לפתור ללא שרטוט (כך היא הופכת למאתגרת יותר) אך איני אוסר זאת כפי שעשיתי באחת הפעמים. ב ה צ ל ח ה !

 

[yak141]

אני מבין שרוב חובבי החידות נעלמו...

 

[1אברהם]

לגבי השאלה השניה

למקרה הפרטי ש n מתחלק ב5 אז המספר המינימלי הוא:

n^2/5+4*n/5-2​

 

[סטודנט ותיק2]

שאלה שנייה

מצאתי דרך בה צריך לצבוע n^2/2+2 ?!?!?!?

 

[BanjoKazooie]

הניחוש שלי

אן בריבוע חלקי 4 !!! זה ניחוש כמובן..

 

[yak141]

לצערי כולכם טועים....

אבל נראה לי שלחלקכם יש כיוון, לכן אשמח לשמוע כיצד הגעצם לפתרונות אליהם הגעתם! ב ה צ ל ח ה !

 

[1אברהם]

הסבר

בציור המצורף n=10 . המשבצות המכילות עיגול הם המשבצות "הצבועות" שאר המשבצות שאינם לבנות הם משבצות הסמוכות למשבצת "צבועה" ( המסומנת בעיגול ) לפי דעתי זוהי הדרך האופטימלית ( N מספר המשבצות הצבועות -מינימלי ) כדי שכל המשבצות למעט חלק מהמשבצות שממוקמות ב 2 השורות וב2 העמודות הקיצוניים יהיו סמוכות למשבצת "צבועה" סהכ קיבלנו 20 משבצות "צבועות" (n^2/5 ) כדי שגם אלו הלא סמוכות בשורות ובטורים הקיצוניים יהיו שמוכות יש להוסיף עוד 6 משבצות "צבועות" וסה"כ 26 משבצות "צבועות" עדין לא הצלחתי למצוא נוסחה כדי לטפל במשבצות הקיצוניות או שאולי הדרך שלי מיסודה לא אופטימלית

 

[yak141]

נראה לי שכולכם טועים בגללי...

חשבתי שזה ברור מאיליו אך כעת כשקראתי את השאלה כפי שנסחתי אותה ברור לי שאין זה כך. משבצת אינה סמוכה לעצמה אני מתנצל על כל כאבי הראש שגרמתי לכם בגלל חשיבה על חידה לא נכונה. רק עכשיו בעזרת השרטוט של 1אברהם הבנתי שהחידה אינה ברורה. שוב סליחה, וב ה צ ל ח ה בהמשך.

 

[popeyeTheSailor]

קצת חלוד בגאומטריה אבל ...

אם אני לא טועה ABCD הוא מלבן מכיוון ש - AD אנך לרדיוס (תכונת המשיק) ולכן זוית A = 90 מעלות, כנ"ל זוית B מאותה סיבה. המצולע ניתן לחסימה ולכן הזויות הנגדיות משלימות ל 180 מעלות ולכן גם זויות D ו- C שוות ל- 90 מעלות => ABCD מלבן. נסמן את נקודת ההשקה של CD עם O ב- F. AD = DF ו- BC = BF (קיים משפט כזה או שניתן להוכיח בקלות בעזרת חפיפת משולשים) ולכן AB = DC = DF + CF = AD + BC מ.ש.ל

 

[yak141]

הבהרה קטנה

בשאלה מצוין כי מרכז המעגל מונח על AB אך אין זה אומר כי AB הוא קוטר, AB יכול להיות שונה באורכו מהקוטר ולכן AD אמנם אנך לרדיוס כלשהו אך הוא אינו בהכרח אנך ל- AB ולכן ABCD אינו מלבן. ב ה צ ל ח ה! בהמשך, צום קל וגמר חתימה טובה.

 

[1אברהם]

פתרון לתרגיל 1

המרובע ABCD חוסם את המעגל שמרכזו O מונח על AB . כמו כן נתון ש ABCD ניתן לחסימה ומזה נובע שכל זוג זוויות נגדיות סכומם 180 . נעביר ישר משיק למעגל בנקודה G ומקביל ל AB ( מסומן באדום ) ישר זה חותך את AD בנקודה E, את המשך BC בנקודה F , ואת הצלע CD בנקודה K. טענה: משולשים AEO ו BFO הם שווי שוקים כך ש AE=AO ו BF=BO . הוכחה: אם נסתכל על המשולש AEO אז הזוויות AEO ו OEF שוות כי OE חוצה זווית של AEF . וגם זוויות AOE ו OEF מתחלפות ולכן שוות. מסקנה זוויות AOE וAEO שוות ולכן המשולש AOE שוה שוקים ובצורה דומה זה נכון גם ל משולש BFO ולכן: AE+BF=AO+OB=AB הערה: אם DC היה מקביל ל AB ( ואז DC מתלכד עם EF ) אז היינו גומרים את ההוכחה עכשיו ולא היה צורך בתנאי ש ABCD ניתן לחסימה טענה : המשולשים EDK ו KFC חופפים. הוכחה: זוית AEF משלימה ל EAO ל 180 וגם זווית DCB משלימה ל EAO ל180 ( כי ABCD מרובע שניתן לחסום במעגל ) ולכן גם הזויות הצמודות DEK וKCF שוות. הזוויות EKD CKF שוות כי הם קודקודיות. עד כאן הוכחנו שהמשולשים EDK ו KFC דומים. EG=CH כי מהנקודה C ומהנקודה E "רואים" את המעגל באותה זווית ( שים לב ש G ו H הם נקודות השקה ). כמו כן GK=KH כי הם שני קטעים היוצאים מאותה נקודה K ומשיקים למעגל. מסקנה EG+GK=CH+KH=EK=CK ומכיוון ש CK=EK אז המשולשים לא רק דומים אלה חופפים ומזה נובע ש ED=FC מהציור רואים ש: AD=AE+ED BC=BF-FC נחבר את המשוואות AD+BC=AE+ED+BF-FC=AE+BF=AB ( ראינו מקודם ש AE+BF=AB ) מ.ש.ל.

 

[yak141]

נראה כמו פתרון יפה מאוד!

כל הכבוד על הפתרון!

פתרון יפה ואלגנטי! יישר כח!!!