שאלה 7 ו-20
7.1 הטור הזה מתכנס בהחלט, ויש לנו משפט על שינוי סדר של טורים מתכנסים בהחלט.
7.2. הטור הזה מתכנס בתנאי ולכן אילו זה היה צריך להיות נכון, היה אמור להיות משפט כמו 7.1.
באופן קונקרטי, אנחנו יודעים שסכום של 1+1/2+1/3+...+1/N זה בערך lnn.
אז הנה סידור סבבה.
לוקחים סכום של המון חיוביים עד שמקבלים 0.5ln(N1) ואז מורידים ממנו את 1, ודואגים שההפרש הזה יהיה לפחות 1 למשל.
עכשיו לוקחים עוד פעם המון חיוביים, ומקבלים בערך 0.5ln(N2/N1), דואגים שגם זה יהיה גדול, ומורידים ממנו את שליש, ודואגים שההפרש יהיה לפחות 1.
וכך הלאה.
קל להראות שהסס"ח של הדברים הללו לא מתכנס.
 
 
לגבי 20.
לוקחים פיתוח טיילור של sin(an) ורואים שהשאלה בעצם מתייחסת ל-sum an^2.
אז ד נפסל ישירות, אם an>0, אז an^2<an עבור nים מספיק גדולים בהנחה שיש התכנסות.
אם an<0, זה כבר מאוד תלוי האם an התכנס בהחלט או בתנאי, הרי יש דוגמאות שיש התכנסות בתנאי אבל לא בהחלט.
לגבי ג, דוגמא שתפריך אותו תהיה an=(-1)/n, טור הריבועים כמובן מתכנס, ולכן הטור המוזר הזה לא בהכרח מתבדר.
אז בעצם מה שאני משאיר לך לחשוב עליו קצת, זאת השאלה הבאה - an טור המתכנס (בתנאי), האם an^2 מתכנס?
<n/(2n+1) < 1/2