טור

[Hudson]

טור

טור מ 1 לאין סוף של (e^n*n!)/n^n מתכנס? מתבדר? אייך ולמה ?

 

[Fingertip]

הטור מתבדר... (שימו לב לשעה...)

הטור מתבדר. ההוכחה היא באמצעות מבחן המנה של דיאלמבר. מצ"ב הוכחה פחות או יותר מלאה. מצטער אם יש אי דיוק בפרטים - אני טיפ טיפה עייף. אהד.

 

[אוילר]

דלמבאר?

מבחן המנה ל דלמבאר מדבר על הגבול העליון כשאן שואף לאינסוף של היחס שהוא במקרה זה אחד....לכן מבחן דלמבאר לא עוזר במקרה זה.....למרות שהיחס תמיד גדול מאחד, גבולו הוא אחד ולכן דלמבאר לא יכול להכריע...

 

[איגור קרסיק]

לא בדיוק

יש מספר ניסוחים למבחן של דאלמבר. אחד מהם הוא שהטור מתבדר אם היחס גדול או שוולה ל-1 כמעט לכל N. בלי קשר לגבול! בכול מקרה, אהד צדק...

 

[alon14]

גילוי חדש

הפונקציה זהה למכפלה האיטרטיבית:

e * Prod { e / [(1 + 1/n)^n] }​

כאשר המכפלה היא מ-1 עד n-1 (היא לא עד n כי היא מבוססת על הכפלת האיבר הראשון במנה בין כל שני איברים סמוכים, וכמובן שיש n-1 מנות כאלו). שאלה: למה צריך את זה? תשובה: כמו שניתן להפוך פונקצית סכום לאינטגרל על מנת לבדוק אם היא מתכנסת או מתבדרת (אבל לא על מנת לקבוע את ערכה אם היא מתכנסת), כך ניתן לצפות שיהיה ניתן להפוך פונקצית מכפלה לאינטגרל-הכפלה על מנת לבדוק זאת. שאלה 2: מה זה לעזאזל אינטגרל-הכפלה? תשובה 2: כמו שאינטגרל רגיל מבוסס על סכום אינסופי (כלומר על סיכום אינסוף איברים שואפים לאפס), כך יהיה זה מן ההגיון שיהיה דבר הנקרא אינטגרל-מכפלה, המבוסס על מכפלה של אינסוף איברים שואפים לאחד. אם אתם רוצים לדעת, אינטגרל המכפלה של פונקציה שווה ל-e בחזקת האינטגרל (הרגיל) של ה-ln של אותה פונקציה.

 

[איגור קרסיק]

נאה!

למראת שהוא לא דיבר על הפונקציה אלא על הסכום האינסופי שמורכב מאברי הפונקציה.... כמו כן, לפי ההגדרה שאני מכיר אינטגרל לא מבוסס על סכומים אינסופיים. אם יש לך הגדרה נוספת [חוץ מהגדרת דארבו ורימאן] לאינטגרל, אני אשמח לשמוע [עדיף שתכתוב בקובץ וורד]... אני תוהה איך הצלחת להשיג ידע אקדמי??? אני בגילך [אני נשמע כאילו אני מבוגר ממך בלפחות 10 שנים...] גם רציתי לדעת דברים שמלמדים באונ" אבל אף פעם לא היו לי הספרים [עד שהתחלתי ללמוד באו"פ].

 

[alon14]

תודה

בעניין הפונקציה, יש משפט (שרוב הסיכויים שיש לי הוכחה אליו איפשהו בניירת

) שאומר שאם האינטגרל של פונקציה ממספר סופי גדול מ-1 עד לאינסוף מתכנס אז הסכום של איברי הפונקציה מתכנס גם הוא, כמו שאם האינטגרל מתבדר (כלומר שואף לאינסוף) אז הסכום מתדבר גם הוא. בעניין הידע האקדמי, יש אתר מסוים שכולל יותר מ-10,000 הגדרות מתמטיות (אני מסוגל להבין 500 במקרה הטוב

) - למרות שאינטגרל המכפלה זה דבר שחשבתי עליו בעצמי לפני כמה חודשים. בעניין האינטגרל, אני קראתי שאינטגרל הינו תהליך של סיכום אינסוף איברים שואפים לאפס (זה מהמקבילה הבריטית לבני גורן, פחות או יותר). ודבר אחרון: בדקתי באקסל את הפונקציה מ-1 עד קצת יותר מ-19,000 והיא נראית כמו משהו בין פונקצית ה-ln והיפרבולה.

 

[איגור קרסיק]

....

1. אכן יש משפט כזה... 2. באותו זמן לא היה לי אינטרנט.... 3. נראה לי שזו הגדרת אינטגרל לפי רימן...

 

[שמאלני מתנשא]

מתכנס לאפס

אם הבנתי נכון ואתה מנסה למצוא את הגבול של e^n _____ *n n^n אז הגבול הוא 0. הסבר: קודם אינטואיטיבי (ויסלחו לי המתמטיקאים ביניכם) כש n גדול מאוד אז המכנה מהר מאוד משיג את e^n למשל כש אנ הוא 50 אז כבר בחזקה ה13 הוא משיג. מתמטי... טוב.. פה יעזרו לי המתמטיקאים, אבל תעשה לופיטל ותראה שהמכנה גדל הרבה הרבה יותר מהמונה בכל גזירה

 

[שמאלני מתנשא]

../images/Emo11.gifאופס! אז פיספסתי עצרת !

מה קרה ! כולה סימן קריאה קטן !

 

[arifell]

שמאלני שמפספס עצרת!

מה קרה למדינה?

 

[alon14]

אם זוכרים את העצרת ../images/Emo8.gif...

...אז מקבלים שכשמחליפים את N ב-N+1, קורים הדברים הבאים: המונה מכפיל עצמו ב-E כפול N+1; המכנה מכפיל עצמו ב:

(n+1)^(n+1)/n^n (n+1)*[(n+1)^n]/(n^n) (n+1)*[(n+1)/n]^n (n+1)*(1 + 1/n)^n ->e*(n+1)​

על כן, ההכפלה של המונה חלקי ההכפלה של המכנה שווה ל-1 (ומתקרבת אליו מלמעלה שכן הגבול ל-e במכנה שואף אליו מלמטה). בקיצור - יש שתי אפשרויות: שאיפה למספר מסוים גבוה מ-e (הערך של הפונקציה כש-n=1) או שאיפה לאינסוף.