טורים חיוביים

[lebron james2]

טורים חיוביים

בכל מקום מעתה ואילך, שרשום sqrt, הכוונה היא לשורש n-י, ולא לשורש ריבועי.

אני רוצה להכריע את הטור zz 1 / sqrt((n!)^2) zz.

בהדרכה כתוב שהגבול של zz n / sqrt(n!) zz הוא e.

3. למה נובע מכך ש:
הגבול של zz n^2 / sqrt((n!)^2) zz הוא e^2? זו איזשהי אריתמטיקה? מה ההצדקה הפורמלית למעבר הזה?

איך מסיימים?

תודה וחג שמח.

 

[1ca1]

כמה דברים

1. אם שמך לברון ג'יימס, אתה אמור לדעת אנגלית, ולהבין ש-sqrt משמעו square root, ולכן אין טעם לקרוא לשורש nי sqrt אלא משהו כמו nroot או משהו.
&nbsp
2. זה נובע מאריתמטיקה של גבולות, אחרי שמוכיחים את התכונות האריתמטיות של שורש nי (שתלויות בהגדרה שלו), מקבלים ששורש nי וחזקות מתחלפים ולכן
zz nroot((n!)^2)=(nroot(n!))^2 zz
ומכאן זה קל.
&nbsp
בכל מקרה, לגבי הכרעה, הדרך הבסיסית לטפל בדברים האלה זה דרך מבחן העיבוי (הוא באופן כללי מטפל בשורשים nים), וכאן אפשר ממש להכריע דרך נוסחאת סטרילינג לקירוב של n! (ואולי גם שוב פעם מבחן העיבוי לאחר מכן).

 

[ןן גיל ןן]

הערה קטנה

מבחן העיבוי לא נראה לי רלוונטי כאן, ובמיוחד בהינתן הרמז.

מה שצריך להשתמש בו כדי לסיים הוא מבחן ההשוואה הגבולי לטורים.

 

[1ca1]

אתה צודק שאפשר לוותר עליו כאן

אבל בסופו של דבר הוא הכלי הסטנדרטי לטיפול בשורשים nיים, שמשום מה מופיעים בחלק הזה של האינפי יותר מבכל מקום אחר

.
מאחר שכשאני הייתי תלמיד של אינפי 1 התבלבלתי בשאלה דומה עם שורש nי בגלל חוסר שימוש במבחן העיבוי (שבד"כ קצת נשכח ביחס לקושי-מנה-דאלאמבר), אני טורח כמעט באופן אוטומטי לציין אותו עם בעיות שיש בהן שורש nי.
&nbsp
בנוסף, לאחר שתשתמש בסטירילינג (שזאת פלוס-מינוס ההדרכה הנתונה שם), צריך את מבחן העיבוי (או עבודה ישירה בידיים, זה גם אפשרי, אחרי שזוכרים משהו על האסימפטוטיקה של שורש nי של n וכנראה משהו כמו אי-שיוויון ברנולי).

 

[ןן גיל ןן]

לא יורד לסוף דעתך

מבחן העיבוי פשוט לא קשור כאן, ולא ברור איך התכוונת להשתמש בו. ובכלל, מבחן העיבוי מצריך מונוטוניות - למה להסתבך ולנסות להוכיח מונוטוניות של הביטוי הנ"ל?
אני לא יכול לחשוב על דוגמה אחת שמבחן העיבוי מתאים בה לשורשים n-יים, תוכל לתת כזו? הדוגמאות שאני מכיר לשימוש במבחן העיבוי הם טורים מהצורה 1 חלקי (n בחזקת קבוע * log n בחזקת קבוע) ודומיהם.

כדי להוכיח את ההדרכה (שהשואל לא שאל לגביה) לא חייבים את סטירלינג (ובשלב הזה של הלימודים בד"כ לא מוכיחים אותו עדיין), מספיק הקשר בין קושי לדאלמבר, כלומר הטענה שאם היחס בין איברים עוקבים בסדרה שואף ל-L אז גם גבול השורש ה-n-י של איבר הסדרה שואף ל-L. את כל זה מפעילים לגבי הסדרה a_n=n! / n^n.

 

[1ca1]

 

[lebron james2]

בנוגע למה ששאלתי

מצאתי לינק עם פתרון.
http://math-wiki.com/index.php?titl...עב/מערך_תרגול/טורים/מבחנים_לחיוביים/דוגמאות/3
אני לא מדבר על ה"פתרון הישן", אלא על הפתרון הראשון שכתוב שם.

לא הבנתי מה הכוונה ש"הטור חבר של הטור zz 1/n^2 zz ולכן מתכנס".

1. מי זה "הטור"? הכוונה לטור המקורי בשאלה שאותו אני נדרש להכריע?
2. מה זה אומר שהוא חבר של הטור zz 1/n^2 zz?
3. למה מכך שהוא חבר, מסיקים שהוא מתכנס?

ושוב תודה.

 

[ןן גיל ןן]

תשובות

1. כן.
2. הכוונה היא שהיחס בין האיבר הכללי של הטור לאיבר הכללי של הטור השני שואף לגבול חיובי.
3. לפי מבחן ההשוואה הגבולי.