טופולוגיה (אינפי 2)

[הרוצה להחכים]

טופולוגיה (אינפי 2)

חבר סיפר לי על בניה של סדרת פונקציות חיוביות שמקבלות ב-0 את הערך n (לכל n) אבל האינטגרל שלהן מ-0 עד 1 קטן או שווה ל- 1.
מצאתי דוגמאות קרובות לדרוש מדוגמאות נגדיות שלמדתי עליהן כאשר למדתי על סדרות של פונקציות אבל לא הצלחתי למצוא דוגמא מתאימה.

אני צריך את הדוגמא הזאת כדי להפריך את הטענה הבאה:

האם קבוצת הפונקציות החיוביות ב- C(I) zz המקיימות שהאינטגרל שלהן מ-0 עד 1 קטן או שווה ל-1 חסומה ב- C(I) zz?

 

[עריסטו]

מה עם הפונקציה הבאה

f(x)= n(1-x)^k
​

אם תבחר k גדול מספיק האינטגרל יהיה קטן כרצונך.

 

[הרוצה להחכים]

סבבה, מלבד זה

&nbsp
זה שב-1 הן מקבלות את הערך 0, מה שקצת פוגם בדרישת החיוביות, יש לך רעיון איך לתקן את זה?

 

[עריסטו]

אז ככה

אפשר לכפול את הפונקציה הנ"ל ב-a ולהוסיף b. אם תבחר a ו-b מתאימים תוכל לקבל ב-x=0 וב-x=1 איזה ערכים שאתה רוצה.

 

[1ca1]

נכון

אבל אפשר לחשוב על פונקציות יותר סטנדרטיות, ששמן בישראל הם - משולשים.
משולש בגובה n ובאורך בסיס של zz 1/n zz נותן שטח של חצי, וכמובן שאיננו חסום.
&nbsp
בשביל להסתדר עם דרישת החיוביות (שבד"כ מניחים אי-שליליות או משהו), אפשר להגיע לגובה zz n-1/n zz (כלומר לעצור בגובה כלשהו חיובי), ואז לקחת בבסיס את הקטע zz 1/n zz לגובה הזה, ולאחר מכן לעשות (אחרי המשולש) פשוט קו ישר שמוסיף מלבן.
נחשב את הערך של האינטגרל.
יש לנו מלבן על כל האורך בגובה zz 1/n zz, הוא תורם zz 1/n zz לשטח.
מעליו יש משולש בגובה zz n-1/n zz, עם שטח בסיס של zz 1/n zz, והוא תורם
zz 1/2-1/2n^2 zz לשטח.
סה"כ נקבל
zz 1/2+1/n-1/n^2<=3/4 zz
וכמובן שהפונקציה איננה חסומה.

 

[אורי769]

אבל זה לא ב-(C(I

אתה צריך לשייף קצת את הפינה בשביל זה.

 

[1ca1]

לא הבנתי, זאת פונקציה רציפה על הקטע [0,1]

היא חיבור של קווים נחתכים...

 

[אורי769]

אופס צודק

משום מה פרשתי את זה כגזיר ולא רק רציף.

 

[הרוצה להחכים]

תודה לכולכם!

 

[הרוצה להחכים]

ועוד אחת בטופולוגיה

ב- C(I) zz מצאו את השפה של קבוצת הפונקציות המקיימות f(x) zz גדול או שווה ל-2 וקטן מ- 3 לכל x בקטע.

אשמח לעזרה.

 

[1ca1]

תשובה

1. זה לא קשור לטופולוגיה פר-סה, אולי לאנליזה פונקציונאלית.
&nbsp
2. נקודה היא נקודת שפה אם כל סביבה פתוחה שלה, מכילה נקודות מהפנים ומהחוץ.
עכשיו מה זה סביבה פתוחה ב-C(I)? הטופולוגיה על C(I) היא של התכנסות במ"ש, ולכן 2 פונקציות הן קרובות, אם יש צינור סביב אחת, שהשנייה נמצאת בו.
אז אני רוצה שכל צינור סביב הפונקציה, יכיל נקודות מהפנים ומהחוץ.
אני גם משאיר לך להבין מדוע הקבוצה שהגדרת היא סגורה.
אז בוא נסתכל בפונקציות שנוגעות פעם אחת ב-2, ועדיין בין הקווים.
ניקח להן סביבה צינורית.
ברור לחלוטין שיש לי פונקציה קרובה אליה מבפנים כרצוני, משהו בסגנון f(x)+epsilon או משהו (צריך להיזהר, אני מניח כאן שהפונקציה לא מגיע ל-3 אף פעם, אם היא מגיע ל-3, צריך להיזהר ולבנות קירוב חכם יותר, אפשר גם לעשות משהו עם טורי פורייה אם אתה מכיר את הגאדג'ט הזה כבר).
מצד שני, יש גם פונקציה קרובה אליה מבחוץ - f(x)-epsilon, היא בחוץ כי כאשר f(x)=2 אני מקבל 2 פחות אפסילון, ומצד שני היא קרובה בהגדרה, ההפרש המקסימלי קטן או שווה לאפסילון.
&nbsp
כנ"ל עם נקודות שנוגעות ב-3.
&nbsp
בקיצור, יש לנו מועמדות מעולות לתפקיד השפה, פונקציות שפעם אחת לפחות נוגועות ב-2 או ב-3.
צריך להראות שאלה כל נקודות השפה.
תהי f נקודת שפה.
ונניח ש-f לא נוגעת ב-2 או ב-3.
ממשפט ויירשטראס 2, נקבל ש- f גדול או שווה מ-2+d1 וקטנה או שווה מ-3-d2.
קח סביבה צינורית של f ברדיוס min{d1,d2}/2, ותקבל שכל פונקציה בתוך הסביבה הזו מקיימת g<=3 וכן g>=2, ולכן כל הסביבה הזו היא פנימית בקבוצה, כלומר f לא נקודת פה.
&nbsp
עכשיו בגלל שהקבוצה מלתחילה היתה סגורה, כל נקודת השפה היו חברות בקבוצה, והראתי לך שפונקציות שלא נוגעות ב-2 או ב-3 הן לא שפה, ואילו פונקציות שכן הן כן שפה, סה"כ הראתי לך את כל השפה.

 

[הרוצה להחכים]

מבקש הבהרה

מצטער, אבל לא ברור לי למה הקבוצה הזאת סגורה. ניסיתי להראות שהמשלים פתוח אבל נתקעתי, לא היה ברור לי איזה אפסילון לבחור.
למשל, אם f(x)=x+2? (שוב, ערכי f גדולים או שווים ל- 2 אבל קטנים ממש מ-3)

 

[1ca1]

תשובה

התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית נכון?

 

[הרוצה להחכים]

נכון, ואז?

&nbsp
המשלים הוא קבוצת הפונקציות שקיים עבורן x כך שמתקיים f(x)<2 או f(x)>=3
&nbsp
במקרה הראשון אני יודע לטפל, אבל מה עם השני?
&nbsp
את שאר ההוכחה שכתבת הבנתי כראוי, תודה רבה.

 

[הרוצה להחכים]

נראה לי שהסתדרתי, תודה.

 

[1ca1]

אוקיי, החמצתי את הקטן ממש

תתקן בנקודות שפה לפוגע פעם אחת ב-2 או ב-3. הסגור של הקבוצה הזו הוא כמובן פונקציה חסומות בין 2 ו-3 (כולל), כי זה גם הסגור הנקודתי שלה.