חלוקת ריבוע למלבנים

[עריסטו]

מחלקים ריבוע למלבנים כך שלכל מלבן יש לפחות צלע אחת אדומה. נכון או לא נכון: סכום אורכי הצלעות האדומות גדול או שווה לאורך צלע הריבוע.

 

[הפרבולה1]

נכון.
נסתכל על המלבנים שיש להם צלע אופקית אדומה ( כמו מלבנים A D בציור ) , ההיטל שלהם על הצלע האופקית התחתונה של הריבוע מודגשת בכחול. אם ההיטלים האלו מכסים את כל הצלע האופקית של הריבוע אז סכום אורכי הצלעות האדומות גדול שווה לאורך צלע הריבוע.

ואם לא, אז כל מלבן ( מלבנים B C ) שנמצא מעל הצלע האופקית של הריבוע בקטע הלא מכוסה בהיטלים של צלעות מלבנים אופקיות אדומות חייב שתהיה לו צלע אדומה אנכית , והיטלי צלעות אנכיות אלו על הצלע האנכית של הריבוע מכסות את כולו , ולכן שוב סכום אורכי הצלעות האדומות גדול מאורך צלע הריבוע.

 

[עריסטו]

פתרון נכון, ויש גם פתרון אלגברי:
נסמן את אורך צלע הריבוע ב-1, את אורך הצלע האדומה של כל מלבן ב- r(i) ואת אורך הצלע האחרת ב - b(i), אז סכום כל המכפלות r(i)b(i) הוא 1, אבל כל b(i) קטן או שווה ל-1 ולכן סכום ה - r(i) - ים הוא לפחות 1.

 

[הפרבולה1]

אם הבנתי נכון את הפתרון האלגברי הוא נובע מכך ש:

zzz 1 = ∑ r(i) * b(i) ≤ ∑ r(i) * 1 = ∑ r(i) zzz​

 

[עריסטו]

נכון