חלוקה באפס...
ראיתי שהשאלה אודות חלוקה באפס חוזרת על עצמה בפורום וראיתי שבאופן עקבי מתקבלות תשובות שונות ואף סותרות. לכן אכתוב בקצרה אודות חלוקה באפס בתקווה להסביר בעיה זו. לשם כך אתמקד בשתי פעולות החשבון הבסיסיות המוכרות לרוב המשתמשים - פעולת חיבור ופעולת כפל בקבוצת המספרים הראציונליים (כל השברים או באופן מדוייק - כל המספרים אותם ניתן להציג כמנה של שני מספרים שלמים). אותן פעולות חיבור וכפל המוכרות לכולם, לפחות באופן אינטואיטיבי, מקיימות את תכונות מסוימות, אדון בהן בנפרד: תכונות פעולת החיבור: 1. הפעולה חילופית - לכל שני מספרים a,b מתקיים: a+b=b+a. לדוגמה: 2+3=3+2 2. הפעולה קיבוצית - לכל שלושה מספרים a,b,c מתקיים:
ראיתי שהשאלה אודות חלוקה באפס חוזרת על עצמה בפורום וראיתי שבאופן עקבי מתקבלות תשובות שונות ואף סותרות. לכן אכתוב בקצרה אודות חלוקה באפס בתקווה להסביר בעיה זו. לשם כך אתמקד בשתי פעולות החשבון הבסיסיות המוכרות לרוב המשתמשים - פעולת חיבור ופעולת כפל בקבוצת המספרים הראציונליים (כל השברים או באופן מדוייק - כל המספרים אותם ניתן להציג כמנה של שני מספרים שלמים). אותן פעולות חיבור וכפל המוכרות לכולם, לפחות באופן אינטואיטיבי, מקיימות את תכונות מסוימות, אדון בהן בנפרד: תכונות פעולת החיבור: 1. הפעולה חילופית - לכל שני מספרים a,b מתקיים: a+b=b+a. לדוגמה: 2+3=3+2 2. הפעולה קיבוצית - לכל שלושה מספרים a,b,c מתקיים:
(a+b)+c=a+(b+c)
לדוגמה:(2+4)+3=2+(4+3)
בניסוח מרושל נוכל לומר שתכונה זו מאפשרת השמטת סוגריים. 3. קיים איבר ניטרלי אותו מכנים 0 המקיים לכל a: a+0=a 4. קיום איבר נגדי: לכל מספר a קיים מספר a- המקיים: a+(-a)=0. תכונות פעולת הכפל: 1. הפעולה חילופית - לכל שני מספרים a,b מתקיים: a*b=b*a. לדוגמה: 2*3=3*2. 2. הפעולה קיבוצית - לכל שלושה מספרים a,b,c מתקיים:(a*b)*c=a(b*c)
לדוגמה:(3*4)*5=3*(4*5)
3. קיום איבר ניטרלי אותו מסמנים ב-1 המקיים לכל a: a*1=a 4. וזו התכונה הבעייתית: לכל מספר a פרט לאפס קיים איבר1/a
המקיים: a*(1/a)=1 בטרם נדון בתכונה זו נציין כי קיימת התכונה המקשרת בין חיבור לכפל המוכרת בשם חוק הפילוג, שהיא: לכל שלושה מספרים a,b,c, מתקיים: a*(b+c)=a*b+b*c תכונה זו בניסוח מרושל תיקרא "פתיחת סוגריים". מתכונות אלה, ורק מהן, נוכל להסיק את המשפט הבא: לכל מספר a מתקיים: a*0=0 לא אציג כאן את ההוכחה, אבל אתמקד בבעיתיות שנוצרה לגבי חלוקה באפס. ראשית נבהיר: פעולת חילוק פירושה פעולת כפל באיבר הופכי. אם נתחכם לגבי התכונה הרביעית של הכפל, ונאמר שגם לאפס קיים איבר הופכי, אזי לפי התכונה השלישית של הכפל יתקיים:0*(1/0)=1
אבל זו סתירה! לפי המשפט, לכל a מתקיים a*0=0. כלומר אם נגדיר פעולת חילוק באפס, ניאלץ לוותר על התכונה שלכל מספר aמתקיים a*0=0. כאן הבעייתיות בחלוקה באפס. לכן, מקובל לטעון שלאפס אין איבר הופכי, ולפיכך חלוקה באפס אינה פעולה מוגדרת. זו איפוא הסיבה מדוע אסור לחלק באפס. כעת, אדון קצת בגבולות. גם מי שאינו מכיר את תורת הגבולות בוודאי שם לב שהביטוי1/x
מתנהג בצורה מעניינת. אמנם אסור לחלקו באפס, אבל ככל שלוקחים ערכים קרובים יותר לאפס, למשל: 0.00001 מקבלים מספר גדול יותר. לכן, בתורת הגבולות (אותה לא ניסחתי במדוייק!!!) נהוג לומר שכאשר המכנה שואף לאפס, הביטוי כולו שואף לאינסוף. אין להסיק מכך שהחלוקה באפס אפשרית!!! כלומר חשוב להפריד בין חלוקה באפס לבין גבול של ביטוי השואף לאפס. זה בקצה המזלג נועד להבהיר את הרעיון הכללי ולשבור מיתוסים שונים. מקווה שהתשובה ברורה גם לאלה שלא הכירו אפריורי את המושגים בהם השתמשתי.