חישוב מומנט התמד

[809080]

חישוב מומנט התמד

שלום
אני צריך עזרה בחישוב מומנט התמד של מוט באורך L ומסה M אשר צירו במרחק X מקצהו

כשאני מחשב את זה בעזרת שטיינר זה יוצא לי טוב,
אבל כשאני מנסה לחשב בעזרת אינטגרל עם גבולות (x) (l-x-)
זה יוצא עם טעות קטנה ואני לא מצליח להבין למה זה לא נכון (אני עושה בדיוק לפי הדרך של חישוב כאשר הציר באמצע או בצד ורק מחליף גבולות)

מישהו יכול לנסות לפתור את זה כך?

תודה

 

[stam45]

גבולות האינטגרל

הם x- ו x-L- וזה יוצא בסדר.
או לחילופין x ו x+L, תלוי אם אתה מתייחס למוט כמונח בחלק השלילי או החיובי של הציר.

 

[809080]

תודה, יש לזה הסבר הגיוני?

כי אני לא מצליח להבין למה מה שעשיתי לא עובד ומה שהדגמת כן נכון

 

[stam45]

זה באמת לא מסובך

רק להבין גיאומטרית איפה נמצא המוט, גבולות האינטגרל צריכים להיות שני קצוותיו ולא משהו אחר.

 

[809080]

אבל כמו בתמונה הציר מחוץ למוט

 

[stam45]

תחשוב מאין הגיעה ההגדרה הזו

באמצעות האינטגרל.
קודם כל מגדירים ממנט התמד עבור מספר סופי של מסות. נניח שיש לך n מסות נקודתיות על ציר ה-X, ואתה רוצה לחשב את מומנט ההתמד של המערכת סביב x=0 (זה לא בהכרח מרכז המסה!).
אז ההגדרה היא I=M1X1^2+...+MnXn^2, כלומר לוקחים את כל הנקודות שיש בהן מסה ומסכמים.

הנוסחא עם האינטגרל היא הכללה של זה - במקרה שהמסה מתפלגת ברציפות על הציר והסכום הופך בגבול לאינטגרל.
לכן האינטגרל צריך לרוץ על כל ערכי ה-X שבהם יש מסה, בלי קשר לאיפה נמצא הציר (כדאי תמיד להגדיר את ציר הסיבוב בX=0 כמו בשרטוט והאינטגרל פשוט יותר).