חידת ריבוע

[עריסטו]

חידת ריבוע

"מספר כפול" הוא מספר טבעי בעל מספר זוגי של ספרות, שחציו הראשון זהה לחציו השני. למשל: 786786 11111111 8732887328 הערה - המספר 076076 אינו מספר כפול - מספר אינו יכול להתחיל בספרה 0. מיצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר, שריבועו הוא מספר כפול. ניתן להעזר באתר הבא, בו ניתן למצוא פירוק של מספרים לגורמים ראשוניים: http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM

 

[the Sman]

חידה מאד יפה

מצאתי מספר שריבועו מספר כפול: 18181818182, אבל אני לא יודע איך להסביר כרגע למה הוא הכי קטן (אולי בגגל שאני עייף).

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

 

[clocker]

ניסיון

אני מקווה שאני לא כותב שטויות, אבל אני חושב שלא קיים כזה: והנה ההסבר\הוכחה: נסמן t(k)=10^k+1 המספר הריבועי הכפול שלנו הוא מהצורה t(k)*m עבור m ריבועי בן k ספרות. מספר הוא ריבועי אם ורק אם הוא מכפלה של ריבועיים - ולכן בהכרח t(k)1 הוא ריבועי. נניח שt(k)=a^2, לכן מתקיימים שני דברים בפרט נסמן a=ApAp-1...A1A0 (Ap מייצג את הספרה הp של a) חייב להתקיים Ap=4,A0=1 הספרה האחרונה חייבת להיות 1,כי בתוצאה יש 1. המספר החד ספרתי היחיד שנותן 1 בספרת העשרות כאשר מעלים אותו בריבוע הוא 4, לכן Ap=4/ לפי הנימוק הקודם, אם a=b^2, אזי b=BsBs-1...B1B0 Bs=7,B0=1 רק 7 בריבוע נותן ספרת עשרות 4 נמשיך עוד איטרציה: c=b^2 c=CmCm-1....C1C0 אולם כעת, לא קיים מספר חד ספרתי שריבועו נותן 7 בספרת העשרות, לכן לא קיים c כנ"ל. נובע, שלא קיים b וa כמצוין, ובהכרח t(k)1 אינו ריבועי לכל k. ועל כן לא קיים מספר ריבועי כפול.

 

[clocker]

טוב, כתבתי שטויות

עשיתי צעד לוגי לא נכון, מספר הוא ריבועי אם ורק אם הוא מכפלה של מספרים ריבועיים, אבל זה לא אומר שאם מספר ריבועי הוא מכפלה של שני מספרים - כל אחד מהם הוא ריבועי. זה סימן טוב שהייתי צריך ללכת לישון קודם

 

[mor48]

נסיון

כלל לא בטוח נראה לי שאין פתרון בכדי שיהיה פתרון המספר צריך להראות כך:

1) t=z*(10^p+1) 2) וגם שמספר הספרות של זד יהיה שווה ל פי. 3) כמו כן חייבים לדרוש ש 10^p+1=z*n^2 כך ש טי יהיה ריבוע של מספר. בכדי שתנאי 2 יתקיים לגבי מספר הספרות אן חייב להיות 3 כי אם אן גדול מ 3 אזי אן בריבוע הוא לפחות מספר דו ספרתי כך שמספר הספרות של זד יהיה קטן מ פי דבר זה יגרור שיתווספו אפסים באמצע המספר טי. אם גם המספר 076076 היה מספר כפול אז הפתרון היה t=m^2 m = (11)*(23)*(8779)*(4093)​

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif יש פתרון

 

[mor48]

אתה צודק

לא לקחתי בחשבון שניתן לכפול ב 100 בסוף המספר כך שמספר האפסים באמצע ישתווה למספר האפסים בסוף. אם כך קח את המספר שרשמתי וכפול אותו ב 10. m = 11*23*8779*4093*10

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif זה לא הפתרון.

 

[mor48]

עכשיו אני מקווה שזה נכון

m = 11*23*8779*4093*4

 

[the Sman]

נראה לי שאתה צודק

זה המספר שהצעתי כפול 2

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[the Sman]

איך אתה מוכיח שהוא הכי קטן?

 

[עריסטו]

הדרכה

נסה להוכיח שמספר שש-ספרתי מהצורה ABCABC, כאשר A,B,C הן ספרות, אינו יכול להיות ריבוע של מספר שלם.