חידת המספר 17

[AnarchistPhilosopher]

בטח שמתם לב לכך שאם כופלים את 17 פי 2 מקבלים 34 ואח"כ אם מחברים ומחסרים את הספרות של 34 מקבלים בחזרה את הספרות של 17.
אז נשאל האם יש עוד מספרים שאם כופלים אותם פי 2 ואח"כ מחברים או מחסרים את הספרות מקבלים בחזרה את הספרות של המספר המקורי.
במקרה הדו-ספרתי אין עוד מקרה כזה.
במקרה התלת הספרתי, אם יש לנו מספר עם שלוש ספרות xyz=x*100+y*10+z כופלים אותו פי 2 ומקבלים: 2x*100+2y*10+2z.
אז אנו רוצים לקבל בחזרה את הספרות של xyz בחיבור או חיסור. כלומר יש את האפשרויות הבאות בין הספרות של המספר החדש, ++,+-,-+ (כמובן שעם הפלוס מינוס יש לך בחירה של 2 מתוך 3, כלומר 3choose2.

אז נשאל את השאלה האם יש אינסוף מספרים כמו 17? מספר סופי?
אפשר לשנות את השאלה גם קצת במקום להכפיל פי 2 אולי להכפיל פי 3 ואז אותה שאלה, וכן הלאה...

אין על תורת המספרים, אינסוף בעיות פתוחות ומי יודע איך לפתור אותן?!

 

[הפרבולה1]

לגבי מספר תלת ספרתי לא ברור לי מה מחברים ומה מחסרים.

 

[AnarchistPhilosopher]

לגבי מספר תלת ספרתי לא ברור לי מה מחברים ומה מחסרים.

עוד לא הגדרתי את זה במדוייק.
אבל למשל עבור 123 אם נכפיל פי 2 נקבל 246 אז האפשרויות הן:
2+4+6
2-4-6
2-4+6
6-4+2
6-4-2
6-2+4
2-6+4
(לא שכחתי עוד כמה אפשרויות, נכון?).
אם יש שלוש אפשרויות שמחזירות את הספרות 123 הרי שזה עונה על הדרישה של החידה.
במקרה פה 123 אינו עונה על דרישת החידה.

 

[הפרבולה1]

עוד לא הגדרתי את זה במדוייק.
אבל למשל עבור 123 אם נכפיל פי 2 נקבל 246 אז האפשרויות הן:
2+4+6
2-4-6
2-4+6
6-4+2
6-4-2
6-2+4
2-6+4
(לא שכחתי עוד כמה אפשרויות, נכון?).
אם יש שלוש אפשרויות שמחזירות את הספרות 123 הרי שזה עונה על הדרישה של החידה.
במקרה פה 123 אינו עונה על דרישת החידה.

אפשרות 2 ו 3 שרשמתה זהות.
אבל חסר 4-6-2
וגם חסר zzz -2-4-6 zzz

יש סה"כ 8 אפשרויות לחבר\לחסר 3 מספרים ( כי כל אחד יכול להיות בסימן חיובי או שלילי ) אבל אני מניח שהגבלתה את המקרים רק לכך שהתוצאה תהיה לא שלילית.

 

[AnarchistPhilosopher]

אפשרות 2 ו 3 שרשמתה זהות.
אבל חסר 4-6-2
וגם חסר zzz -2-4-6 zzz

יש סה"כ 8 אפשרויות לחבר\לחסר 3 מספרים ( כי כל אחד יכול להיות בסימן חיובי או שלילי ) אבל אני מניח שהגבלתה את המקרים רק לכך שהתוצאה תהיה לא שלילית.

כן, אלא אם כמובן יוצאת ספרה שלילית שערכה המוחלט זהה לאחת הספרות של המספר המקורי אז זה שווה משהו.
אבל בדוגמא של 123 אני חושב שבכל מקרה אתה לא מקבל בחזרה את הספרות 1 או 2 או 3 בחזרה, בין אם בסימן מינוס או לאו.

האמת זה פשוט משהו שחשבתי להכליל אחרי שראיתי את מה שקורה עם 17, כמו שבפעם הראשונה ראיתי את הדוגמא של 3^3+4^3+5^3=
3^6
אז שאלתי את עצמי האם יש עוד דוגמאות לסדרות כאלה?

לפעמים אני תוהה איך אני מגיע לדברים האלה? זה לא כאילו שישבתי בבית והתחלתי לכפול מספרים דו-ספרתיים פי 2 ואח"כ חיברתי וחיסרתי ביניהם.
פשוט הגעתי לגיל 34 לפני כמה שנים ובגיל 17 קרה לי משהו משמעותי, אז הסתכלתי על זה ספציפית.

אבל ככה סתם לבדוק מספרים בלי קשר ובלי משמעות נראה לי חסר סיכוי למצוא בעל משמעות.

למרות שבתורת המספרים תמיד יש קשרים מעניינים בין מספרים, כידוע על המשפט שלא קיימים מספרים לא מעניינים.
למרות שיש מתמטיקאים כמו גאוס שהיו מחשבים טבלאות עמוסות מספרים...
הרצאה מעניינת של ג'ון קיטינג אם אתם בעניין:

מטריצות אקראיות זה נורא...

 

[עריסטו]

כן, אלא אם כמובן יוצאת ספרה שלילית שערכה המוחלט זהה לאחת הספרות של המספר המקורי אז זה שווה משהו.
אבל בדוגמא של 123 אני חושב שבכל מקרה אתה לא מקבל בחזרה את הספרות 1 או 2 או 3 בחזרה, בין אם בסימן מינוס או לאו.

האמת זה פשוט משהו שחשבתי להכליל אחרי שראיתי את מה שקורה עם 17, כמו שבפעם הראשונה ראיתי את הדוגמא של 3^3+4^3+5^3=
3^6
אז שאלתי את עצמי האם יש עוד דוגמאות לסדרות כאלה?

לפעמים אני תוהה איך אני מגיע לדברים האלה? זה לא כאילו שישבתי בבית והתחלתי לכפול מספרים דו-ספרתיים פי 2 ואח"כ חיברתי וחיסרתי ביניהם.
פשוט הגעתי לגיל 34 לפני כמה שנים ובגיל 17 קרה לי משהו משמעותי, אז הסתכלתי על זה ספציפית.

אבל ככה סתם לבדוק מספרים בלי קשר ובלי משמעות נראה לי חסר סיכוי למצוא בעל משמעות.

למרות שבתורת המספרים תמיד יש קשרים מעניינים בין מספרים, כידוע על המשפט שלא קיימים מספרים לא מעניינים.
למרות שיש מתמטיקאים כמו גאוס שהיו מחשבים טבלאות עמוסות מספרים...
הרצאה מעניינת של ג'ון קיטינג אם אתם בעניין:

מטריצות אקראיות זה נורא...

לגבי 123 ברור שאי אפשר לקבל את הספרות בחזרה כי כל מה שמתקבל מחיבור וחיסור של 2, 4, 6 הוא זוגי.
לגבי zzz 3^3+4^3+5^3=6^3 הוכחתי שאם a,b,c,d היא סדרה חשבונית של מספרים ממשיים ו - zzz a^3+b^3+c^3=d^3 אז קיים x כך ש - a=3x, b=4x, c=5x, d=6x.

 

[AnarchistPhilosopher]

לגבי 123 ברור שאי אפשר לקבל את הספרות בחזרה כי כל מה שמתקבל מחיבור וחיסור של 2, 4, 6 הוא זוגי.
לגבי zzz 3^3+4^3+5^3=6^3 הוכחתי שאם a,b,c,d היא סדרה חשבונית של מספרים ממשיים ו - zzz a^3+b^3+c^3=d^3 אז קיים x כך ש - a=3x, b=4x, c=5x, d=6x.

מה שהוכחת לא מעניין במיוחד יותר מעניין מספרים טבעיים.

שאלה מעניינת היא האם אפשר למצוא את כל הדוגמאות של m^k+(m+1)^k+...(m+n)^k=(m+n+1)^k עבור m,n,k טבעיים?
עבור m=3,n=1 k=2 יש את השלשה הפיתגוראית הידועה (3,4,5).
עבור k=3,m=3,n=2 יש את השלשה של מספר אפלטון (ככה זה נקרא, זה מיוחס לאפלטון) (3,4,5,6).

בטח אפשר להכליל עוד יותר, אבל ככה זה במתמטיקה.
לצערי תשובה לשאלה כזו למרות שהיא מאוד מעניינת (אותי), נראית לי דורשת גיאומטריה אריתמטית ואלגברית. (ומהמעט שנחשפתי בתואר השני זה חתיכת עבודה).