חידה

[אמיר96]

חידה

לא בדיוק חידה מקובלת, אבל שאלה שחשבתי עליה ואין לי עליה תשובה. נניח שיש לי שני כדורים (בעקרון אפשר גם לשאול על N כדורים), שיכולים להיות לבנים או אדומים. הוצאתי את הכדור הראשון והוא היה אדום. עכשיו מה ההסתברות שיהיה הכדור השני? האם היא נשארת 50 אחוז? אם לא האם אפשר לחשב אותה?

 

[אמיר96]

ההסתברות

שהכדור השני יהיה אדום.

 

[thrall]

אם אתה לא יודע כמה כדורים יש לך

מכל צבע בכלי, אז ברור שיש סיכוי של 50 אחוז בדיוק עבור הכדור הזה בגלל שהוא יכול להיות או אדום או לבן ויש רק כדור אחד

 

[אמיר96]

אבל אתה מניח

שיש הסתברות שווה להופעת כדורים אדומים ולבנים. נניח שבכד יש N כדורים, ומספר גדול של כדורים היה יוצא אדום, האם עדיין היית חושב שההסתברות לאדום בפעם הבאה היא 50 אחוז?

 

[thrall]

אני פתרתי עבור שני כדורים

שים לב, לא עבור n כדורים לא ניתן לחשב את ההסתברות כאשר במקור היו בכד יותר משני כדורים, ולא יודעים כמה כדורים היו מכל צבע

 

[אמיר96]

למה יש הבדל

בין שניים לבין יותר כדורים? מה ההבדל העקרוני בין המקרה ששאלתי לבין המקרה הבא: בכד היו 100 כדורים. 99 יצאו אדומים. מה ההסתברות שהכדור האחרון יהיה אדום?

 

[whatmeworry]

על התפלגות וזכרון

נדמה לי מהאופן שבו ניסחת את שאלתך שאתה מכוון למה שמכונה "התפלגות חסרת זכרון" לעומת "התפלגות בעלת זכרון". התפלגות חסרת זכרון היא למשל ההתפלגות של תוצאות הטלת מטבע: לא משנה מה היו התוצאות של הטלות המטבע הקודמות, בהטלת המטבע הבאה ההסתברות לקבל עץ היא בדיוק 50% (בהנחה שהמטבע הוגנת). יתכן מצב בו תטיל את המטבע ותקבל 999 פעמים רצופות "עץ", ובכל זאת בהטלה האלף ההסתברות לקבל "עץ" היא בדיוק 50%. כך גם עם הכדורים שלך: בהנחה שאינך יודע דבר על התפלגות הכדורים בכד, ובהנחה שמי ששם אותם בכד בחר באופן אקראי לחלוטין מבין כמות שווה ובלתי נבדלת של כדורים אדומים ולבנים, ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום היא בדיוק 50%. לעומת זאת, התפלגות בעלת זכרון מניחה ידע מוקדם על הפריטים המפולגים, באופן שבחירת פרט משנה את ההתפלגות של הפרטים הנותרים. למשל, אם ידוע לך כי בכד יש מספר מסוים של כדורים אדומים ולבנים הרי שהוצאת מספר רב של כדורים אדומים עשויה להקטין את ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום. אפילו עצם הידיעה שבכד יש הן כדורים אדומים והן כדורים לבנים, מבלי לדעת את המספרים המדויקים (אך בתנאי ששניהם גדולים מאפס) תביא לאותה תוצאה.

 

[אמיר96]

נראה לי

שההתפלגות שלי היא בעלת זכרון. העיניין הוא שההנחה שלי שאתה לא יודע כלום . אתה גם לא יודע גם אם הכדורים חולקו באופן אקראי (שזה מצב שהרבה פעמים קורה במציאות). האינטואציה שלנו אומרת שככל שיהיו יותר כדורים אדומים כך גדלה ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום. השאלה היא האם אפשר לשים מספר על האינטואציה הזאת.

 

[whatmeworry]

האמנם?

"האינטואציה שלנו אומרת שככל שיהיו יותר כדורים אדומים כך גדלה ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום". האינטואיציה שלי אומרת שככל שהוצאת יותר כדורים אדומים מהכד כך פחת מספר הכדורים האדומים שנותרו בכד, ולכן גם ירד אחוז הכדורים האדומים בכד (בהנחה שלפחות כדור אחד בכד הוא לבן), ולכן ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום דוקא פוחתת.

 

[אמיר96]

לא חייב להיות

כדור לבן בכד.

 

[whatmeworry]

אם אין כדור לבן בכד...

אזי ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום היא קבועה (100%), הלא כן? די בכדור לבן אחד כדי שההסתברות תפחת. בכל מקרה היא בודאי לא תגדל.

 

[whatmeworry]

אגב, אם אתה לא יודע כלום אזי על סמך

מה אתה מניח שההתפלגות בעלת זכרון? איך תגדיר את הזכרון אם אין לך שום ידע ראשוני על ההתפלגות?

 

[אמיר96]

זאת בדיוק הבעיה

אני אפילו לא יודע אם ההתפלגות היא בעלת זכרון... מדובר על שאלה שהיא על גבול הפלוסופיה - מתמטיקה. עם זאת זו לא שאלה סתמית. אנחנו באמת מסתמכים כל הזמן על הסקה אינדוקטיבית. השאלה היא האם אפשר לדבר על הסקה אינדוקטיבית במונחים הסתברותיים?

 

[whatmeworry]

שאל כל סטטיסטיקאי...

והוא יאמר לך שאין כאן כל עניין פילוסופי

אם ברצונך לחשב מהי ההסתברות שהכדור הבא יהיה אדום ואין לך כל ידע שהוא על התפלגות הכדורים, החישוב שלך שווה ערך להטלת מטבע. בעיני, השאלה הפילוסופית המעניינת היא מדוע אנו מחפשים צידוקים מתמטיים לניחושים אינטואיטיביים, גם כאשר הניחושים שלנו מוטעים...

 

[אמיר96]

אם כך

למה טורחים לעשות סקרים? האם סקרים לא אומרים לנו כלום? סקרים מעידים על האוכלוסיה הכללית, והתפלגות האוכלוסיה הכללית קובעת את ההסתברות לממצא הבא.

 

[whatmeworry]

סקרים אומרים המון

(לפעמים על האוכלוסיה ולפעמים על הסוקר

) המכנה המשותף לכל הסקרים: הם נבנים מתוך ידיעה מוקדמת, בדר"כ מקיפה מאד, על התפלגות האוכלוסיה לפי פרמטרים שונים.

 

[אמיר96]

תראה

זה לא נראה לי הגיוני, שאי אפשר להסיק כלום על אוכלוסיה שאתה לא יודע עליה כלום, באמצעות מדגם. האם חוקי המדע לא מבוססים על הסקה אינדוקטיבית? אם תוציא מכד 100 כדורים אדומים, ואף לא לבן אחד, לא תסיק שסביר שהבא יהיה אדום?

 

[Fingertip]

תלוי עוד כמה כדורים יש בכד...

בעקרון ההסתברות קטנה בכל פעם, אבל אם בכד יש למשל 20^10 כדורים, והוצאתי 300 כדורים אדומים, אז סביר להניח שכמות הכדורים הלבנים זניחה בהשוואה לכמות הכדורים האדומים. אהד.

 

[אאא אצבעוני אאא]

סקרים לא אומרים הרבה

תאמין לי אני סוקר

 

[whatmeworry]

ועוד על הסקה אינדוקטיבית

מחקרים ממושכים (עשרות שנים) בנושא חיזוי מזג האויר הביאו למסקנה שהתחזית הנכונה ביותר, דהיינו זו שלה הסיכוי הגדול ביותר לפגוע בול, היא "מזג האויר מחר יהיה זהה לזה שהיה היום"